Structure et parité de la dimension du commutant

Résolution.

1. Cas où le corps est $\mathbb{C$.} Nous allons démontrer ce résultat par récurrence sur $n = \dim E$. L'initialisation pour $n=1$ est immédiate : $C(f) = \mathcal{L}(E)$, donc $\dim C(f) = 1^2$, avec $m_1 = 1$. Soit $n > 1$. Supposons le résultat vrai pour tout espace de dimension strictement inférieure à $n$. Puisque $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, $f$ admet au moins une valeur propre $\lambda$. Considérons les sous-espaces caractéristiques. De manière plus simple, posons :
   $$V = \ker(f - \lambda \text{id}_E)^n   \text{et}   W = \text{im}(f - \lambda \text{id}_E)^n$$
   D'après le lemme des noyaux ou la théorie de la réduction, ces deux sous-espaces sont stables par $f$ et l'on a la somme directe :
   $$\boxed{ E = V \oplus W }$$
   Comme $V$ et $W$ sont stables par $f$, tout élément $g \in C(f)$ laisse également stables $V$ et $W$ (car ils sont définis comme noyaux et images de polynômes en $f$). Ainsi, $C(f)$ est isomorphe au produit des commutants des restrictions :
   $$C(f) \cong C(f|_V) \times C(f|_W)$$
   Par conséquent, on obtient la relation sur les dimensions :
   $$\dim C(f) = \dim C(f|_V) + \dim C(f|_W)$$
   Si $W \neq \{0\}$, on peut appliquer l'hypothèse de récurrence à $f|_V$ et $f|_W$ séparément, ce qui fournit des familles d'entiers dont la somme des carrés donne les dimensions respectives. La réunion de ces familles convient pour $f$. Si $W = \{0\}$, alors $f - \lambda \text{id}_E$ est nilpotent. Notons $N = f - \lambda \text{id}_E$. On a $C(f) = C(N)$. Pour un endomorphisme nilpotent $N$, on définit $d_k = \dim \ker N^k$. On peut montrer que la dimension du commutant est donnée par :
   $$\dim C(N) = \sum_{k=1}^n (\dim \ker N^k - \dim \ker N^{k-1})^2$$
   En posant $m_k = \dim \ker N^k - \dim \ker N^{k-1}$, on a bien $m_k \ge 0$. En ignorant les $m_k$ nuls, on obtient une famille d'entiers strictement positifs dont la somme est $n$ et la somme des carrés est $\dim C(f)$.
   $$\boxed{ \dim C(f) = \sum_{i=1}^r m_i^2 }$$

2. Parité de la codimension. La codimension de $C(f)$ dans $\mathcal{L}(E)$ est donnée par $n^2 - \dim C(f)$. D'après la question précédente, on a $n = \sum_{i=1}^r m_i$. Calculons $n^2$ en développant le carré de la somme :
   $$n^2 = \left( \sum_{i=1}^r m_i \right)^2 = \sum_{i=1}^r m_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le r} m_i m_j$$
   On en déduit l'expression de la codimension :
   $$\text{codim } C(f) = n^2 - \sum_{i=1}^r m_i^2 = 2 \sum_{1 \le i < j \le r} m_i m_j$$
   $$\boxed{ \text{codim } C(f) \equiv 0 \pmod 2 }$$

3. Réciproque. Soient $m_1, \dots, m_r$ des entiers strictement positifs de somme $n$. On cherche $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\dim C(f) = \sum m_i^2$. Choisissons $r$ scalaires distincts $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ dans $\mathbb{K}$ (ce qui est possible si le corps est assez gros, par exemple $\mathbb{C}$). Considérons un endomorphisme $f$ diagonalisable dont les valeurs propres sont les $\lambda_i$ avec les multiplicités $m_i$. Dans une base de diagonalisation, la matrice de $f$ est une matrice diagonale par blocs :
   $$\text{mat}(f) = \text{diag}(\lambda_1 I_{m_1}, \dots, \lambda_r I_{m_r})$$
   Un calcul classique montre que $g$ commute avec $f$ si et seulement si sa matrice est diagonale par blocs de mêmes tailles. Le commutant est donc isomorphe à $\mathcal{M}_{m_1}(\mathbb{K}) \times \dots \times \mathcal{M}_{m_r}(\mathbb{K})$.
   $$\dim C(f) = \sum_{i=1}^r m_i^2$$
4. Cas d'un corps quelconque. Soit $A = \text{mat}(f)$ dans une base quelconque. L'espace $C(f)$ est le noyau de l'application linéaire $\phi : M \mapsto AM - MA$. La dimension de ce noyau est $n^2 - \text{rg}(\phi)$. Le rang d'une matrice (celle de $\phi$) ne change pas par extension du corps de base (par exemple de $\mathbb{K}$ vers sa clôture algébrique $\bar{\mathbb{K}}$). Ainsi, $\dim_{\mathbb{K}} C(f) = \dim_{\bar{\mathbb{K}}} C(f)$. Comme le résultat de la question 1 est vrai sur le corps algébriquement clos $\bar{\mathbb{K}}$, il existe des $m_i$ convenables. La parité de la codimension en découle immédiatement car elle ne dépend que de la dimension.