Bicommutant et cas particuliers

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , on note $\Gamma(A)$ son commutant et $\text{Bic}(A) = \{C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid \forall B \in \Gamma(A), BC = CB\}$ son bicommutant.

Soit $A$ une matrice de transposition dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ (matrice associée à une transposition $\tau \in \mathfrak{S}_n$ ). Déterminer la dimension de $\Gamma(A)$ .
Soit $J$ une matrice nilpotente d'indice $n$ ( $J^n=0$ et $J^{n-1} \neq 0$ ). Montrer que $\dim \Gamma(J) = n$ .
On suppose $A$ $A$ diagonalisable.
1. Déterminer la dimension de $\text{Bic}(A)$ .
2. Montrer que $\text{Bic}(A) = \mathbb{C}[A]$ .

1.

Pour la question 1, une transposition est diagonalisable. Identifier ses valeurs propres et leurs multiplicités.

2.

Pour la question 2, utiliser le fait que $J$ est semblable à un bloc élémentaire. On peut aussi tester le commutant d'une matrice décalage.

3.

Pour le bicommutant, utiliser la structure par blocs du commutant trouvée dans l'exercice 1.

Idées clés

•

Lien entre spectre et commutant pour les matrices remarquables.

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Structure du bicommutant pour les endomorphismes diagonalisables.

•

Propriétés des matrices nilpotentes d'indice maximal.

Résolution.

Matrice de transposition. Soit $A$ la matrice de la transposition $\tau = (i,j)$ . $A$ est une matrice de permutation, donc diagonalisable. Ses valeurs propres sont les racines du polynôme $X^2-1=0$ (car $\tau^2 = id$ ), soit $1$ et $-1$ . - L'espace propre $E_1$ est l'hyperplan d'équation $x_i = x_j$ , de dimension $n-1$ . - L'espace propre $E_{-1}$ est la droite engendrée par $e_i - e_j$ , de dimension 1. D'après la formule de l'exercice 1, $\dim \Gamma(A) = (n-1)^2 + 1^2$ . $\boxed{\dim \Gamma(A) = n^2 - 2n + 2}$
Matrice nilpotente d'indice $n$ . Soit $J$ telle que $J^n=0$ et $J^{n-1} \neq 0$ . $J$ est semblable à la matrice de décalage $S$ avec des $1$ sur la sur-diagonale. Si $M = (m_{i,j})$ commute avec $S$ , un calcul direct (ou l'étude des puissances de $S$ ) montre que $M$ doit être une matrice de Toeplitz triangulaire supérieure : $M = \sum_{k=0}^{n-1} a_k S^k$ Ces matrices sont exactement les polynômes en $S$ . La famille $(I, S, \dots, S^{n-1})$ est libre, donc : $\boxed{\dim \Gamma(J) = n}$
Bicommutant du cas diagonalisable.
1. Soit $v \in \text{Bic}(u)$ . $v$ doit commuter avec tout $w \in \mathcal{C}(u)$ . En prenant pour $w$ les projections sur les sous-espaces propres $E_i$ (qui sont dans le commutant), on voit que $v$ doit stabiliser les $E_i$ . De plus, la restriction $v_i$ de $v$ à $E_i$ doit commuter avec tout élément de $\mathcal{L}(E_i)$ . Les seuls endomorphismes commutant avec tout $\mathcal{L}(E_i)$ sont les homothéties $v_i = \mu_i Id_{E_i}$ . Ainsi, $v$ est déterminé par le choix de $p$ scalaires $(\mu_1, \dots, \mu_p)$ . $\boxed{\dim \text{Bic}(A) = p \text{où } p \text{ est le nombre de valeurs propres distinctes}}$
2. On sait que $\mathbb{C}[A] \subset \text{Bic}(A)$ car $A$ commute avec son commutant, et toute puissance de $A$ aussi. La dimension de $\mathbb{C}[A]$ est le degré du polynôme minimal $\pi_A$ . Pour une matrice diagonalisable, $\deg \pi_A = p$ . Par égalité des dimensions, $\boxed{\text{Bic}(A) = \mathbb{C}[A]}$ .

Pour la question 3(b), il est crucial de préciser que $A$ est diagonalisable. Si $A$ n'est pas diagonalisable, l'égalité $\text{Bic}(A) = \mathbb{C}[A]$ reste vraie (Théorème du bicommutant de Von Neumann en dimension finie), mais la preuve est plus complexe.