Codiagonalisabilité d'endomorphismes commutants

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$ . On suppose que $u$ et $v$ sont diagonalisables.

Montrer que $u$ et $v$ sont codiagonalisables (c'est-à-dire qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et de $v$ sont simultanément diagonales) si et seulement si ils commutent : $u \circ v = v \circ u$ .

1.

Pour le sens direct, utiliser le fait que deux matrices diagonales commutent.

2.

Pour le sens réciproque, utiliser la décomposition de $E$ en somme directe des sous-espaces propres de $u$ .

3.

Montrer que si $u$ et $v$ commutent, alors les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ .

4.

Utiliser le résultat de cours : la restriction d'un endomorphisme diagonalizable à un sous-espace stable est elle-même diagonalizable.

Idées clés

•

Lien entre commutativité et stabilité des sous-espaces propres.

•

Restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable.

•

Recollement de bases de sous-espaces en somme directe.

Résolution.

Sens direct ( $\implies$ ) : Supposons que $u$ et $v$ sont codiagonalisables. Il existe donc une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que les matrices $M_{\mathcal{B}}(u) = D_1$ et $M_{\mathcal{B}}(v) = D_2$ soient diagonales. Or, on sait que deux matrices diagonales de même taille commutent toujours : $D_1 D_2 = D_2 D_1$ . Par conséquent : $u \circ v = v \circ u$
Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Supposons que $u$ et $v$ commutent et sont diagonalisables. Puisque $u$ est diagonalisable, $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres : $\boxed{E = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(u)} E_{\lambda}(u)}$ Soit $\lambda \in \text{Sp}(u)$ et $x \in E_{\lambda}(u)$ . On a $u(x) = \lambda x$ . Comme $u$ et $v$ commutent, on a : $u(v(x)) = v(u(x)) = v(\lambda x) = \lambda v(x)$ Ainsi, $v(x) \in E_{\lambda}(u)$ , ce qui prouve que chaque sous-espace propre $E_{\lambda}(u)$ est stable par $v$ . On utilise alors le lemme suivant : la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable. Pour chaque $\lambda \in \text{Sp}(u)$ , l'endomorphisme induit $v_{\lambda} : E_{\lambda}(u) \to E_{\lambda}(u)$ est donc diagonalisable. Il existe donc une base $\mathcal{B}_{\lambda}$ de $E_{\lambda}(u)$ constituée de vecteurs propres de $v_{\lambda}$ (et donc de $v$ ). Par définition, chaque vecteur de $\mathcal{B}_{\lambda}$ est également un vecteur propre de $u$ (associé à la valeur propre $\lambda$ ). En posant $\mathcal{B} = \bigcup_{\lambda \in \text{Sp}(u)} \mathcal{B}_{\lambda}$ , on obtient par concaténation une base de $E$ (puisque les espaces sont en somme directe). Comme chaque vecteur de cette base est un vecteur propre commun à $u$ et $v$ , on en déduit que : $\boxed{\text{$

L'erreur classique est d'oublier de justifier que la restriction de $v$ à $E_\lambda(u)$ est diagonalisable. Sans cet argument, on ne peut pas affirmer l'existence d'une base de vecteurs propres de $v$ au sein de $E_\lambda(u)$ .