Codiagonalisation et structure par blocs

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère deux matrices $A$ et $B$ appartenant à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . On suppose que $A$ et $B$ sont diagonalisables dans une même base de $\mathbb{R}^n$ .

On définit la matrice par blocs $M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ par :

M = \begin{pmatrix} A & -B B & A \end{pmatrix}

Démontrer que la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ .

1.

Utiliser l'existence d'une matrice de passage $P \in GL_n(\mathbb{R})$ qui diagonalise simultanément $A$ et $B$ pour simplifier la structure de $M$ par similitude.

2.

Étudier la stabilité des sous-espaces de dimension 2 engendrés par les couples de vecteurs de la base de codiagonalisation.

3.

Se ramener à l'étude de blocs de taille $2 \times 2$ de la forme $\begin{pmatrix} a & -b b & a \end{pmatrix}$ .

Idées clés

•

Réduction simultanée (codiagonalisation) de deux matrices.

•

Changement de base par blocs dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ .

•

Critère de diagonalisabilité sur $\mathbb{C}$ (polynôme scindé à racines simples).

1. Réduction simultanée de $A$ et $B$ .

Par hypothèse, $A$ et $B$ sont diagonalisables dans une même base. Il existe donc une matrice de passage $P \in GL_n(\mathbb{R})$ et deux matrices diagonales $D_A, D_B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :

A = P D_A P^{-1}   \text{et}   B = P D_B P^{-1}

Notons $D_A = \text{diag}(a_1, \dots, a_n)$ et $D_B = \text{diag}(b_1, \dots, b_n)$ les coefficients diagonaux respectifs.

2. Transformation de la matrice $M$ .

Considérons la matrice de passage par blocs $Q \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ définie par :

Q = \begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix}

Cette matrice est inversible, d'inverse $Q^{-1} = \begin{pmatrix} P^{-1} & 0 0 & P^{-1} \end{pmatrix}$ . Calculons le produit $M' = Q^{-1}MQ$ en utilisant les règles du calcul par blocs :

M' = \begin{pmatrix} P^{-1} & 0 0 & P^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & -B B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P & 0 0 & P \end{pmatrix}

En effectuant le produit, on obtient :

M' = \begin{pmatrix} P^{-1}AP & -P^{-1}BP P^{-1}BP & P^{-1}AP \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D_A & -D_B D_B & D_A \end{pmatrix}

3. Analyse de la structure de $M'$ .

La matrice $M'$ est constituée de quatre blocs diagonaux. Soit $(e_1, \dots, e_{2n})$ la base canonique de $\mathbb{C}^{2n}$ . Pour chaque $k \in \{1, \dots, n\}$ , l'image des vecteurs $e_k$ et $e_{n+k}$ par l'endomorphisme associé à $M'$ est : \begin{align*} M' e_k &= a_k e_k + b_k e_{n+k}
M' e_{n+k} &= -b_k e_k + a_k e_{n+k} \end{align*}

Ainsi, pour chaque $k$ , le sous-espace $V_k = \text{Vect}(e_k, e_{n+k})$ est stable par $M'$ . En réordonnant la base selon $(e_1, e_{n+1}, e_2, e_{n+2}, \dots, e_n, e_{2n})$ , la matrice $M'$ est semblable à une matrice diagonale par blocs :

\widetilde{M} = \text{diag}(M_1, M_2, \dots, M_n)   \text{où}   M_k = \begin{pmatrix} a_k & -b_k b_k & a_k \end{pmatrix}

4. Diagonalisation des blocs $2 \times 2$ sur $\mathbb{C$ $C$ .}

Le polynôme caractéristique de chaque bloc $M_k$ est :

\chi_{M_k}(X) = \det(XI_2 - M_k) = (X-a_k)^2 + b_k^2

Les racines de ce polynôme dans $\mathbb{C}$ sont :

\lambda_k = a_k + i b_k   \text{et}   \overline{\lambda_k} = a_k - i b_k

Premier cas : $b_k \neq 0$ . Les deux racines sont distinctes. La matrice $M_k$ est donc diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

Second cas : $b_k = 0$ . Dans ce cas, $M_k = \begin{pmatrix} a_k & 0 0 & a_k \end{pmatrix} = a_k I_2$ . La matrice est déjà diagonale.

5. Conclusion.

Chaque bloc $M_k$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . Il en résulte que la matrice $\widetilde{M}$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ . Comme $M$ est semblable à $\widetilde{M}$ sur $\mathbb{R}$ (donc sur $\mathbb{C}$ ), on en déduit :

\boxed{M \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}

Attention à ne pas affirmer que $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ . Si l'un des $b_k$ est non nul, les valeurs propres de $M$ ne sont pas toutes réelles, ce qui empêche la diagonalisabilité sur $\mathbb{R}$ .