Commutateur d'endomorphismes et nilpotence

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ sur $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ satisfaisant la relation :

u \circ v - v \circ u = u

Propriétés générales de $u$
1. Établir que pour tout entier naturel $k$ , on a la relation : $u^k \circ v - v \circ u^k = k u^k$ .
2. En déduire que l'endomorphisme $u$ est nécessairement nilpotent.
Réduction simultanée Dans cette question, on suppose que $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ $K = C$ (ou que les polynômes caractéristiques de $u$ $u$ et $v$ $v$ sont scindés).
1. Montrer que $\text{Ker}(u)$ est stable par $v$ . En déduire que $u$ et $v$ possèdent au moins un vecteur propre commun.
2. Justifier l'existence d'une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément triangulaires supérieures.
Étude du cas de rang maximal pour $u$ On suppose désormais que $\text{rg}(u) = n-1$ $rg (u) = n - 1$ (ou de façon équivalente $\dim \text{Ker}(u) = 1$ $dim Ker (u) = 1$ ).
1. Pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , déterminer la dimension de $\text{Ker}(u^k)$ .
2. On suppose de plus que $v$ est diagonalizable. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ ses valeurs propres distinctes rangées par ordre croissant. Montrer que ces valeurs propres forment une progression arithmétique de raison 1 et que chaque sous-espace propre est de dimension 1.
3. Soit $e_n$ un vecteur propre de $v$ associé à sa plus grande valeur propre $\lambda_n$ . Montrer que la famille $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ définie par $e_i = u^{n-i}(e_n)$ est une base de $E$ . Donner la forme des matrices de $u$ et $v$ dans cette base.

1.

Pour 1.(a), procéder par récurrence sur $k$ . Pour 1.(b), considérer l'application $\Phi : w \mapsto w \circ v - v \circ w$ opérant sur $\mathcal{L}(E)$ .

2.

Pour 2.(a), si $x \in \text{Ker}(u)$ , calculer $u(v(x))$ . Pour 2.(b), utiliser une récurrence sur la dimension de $E$ .

3.

Pour 3.(a), utiliser la croissance des noyaux itérés pour un endomorphisme nilpotent.

4.

Pour 3.(b), si $x$ est un vecteur propre de $v$ pour $\lambda$ , regarder l'image de $u(x)$ par $v$ .

Idées clés

•

Utilisation d'un endomorphisme de l'espace des endomorphismes (endomorphisme adjoint).

•

Stabilité des noyaux par un commutant.

•

Propriétés des chaînes de noyaux pour les nilpotents.

Résolution.

Propriétés de $u$
1. Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ que $u^k v - v u^k = k u^k$ . Pour $k=0$ , $I v - v I = 0 = 0 \cdot I$ , la relation est vraie. Supposons la propriété vraie au rang $k$ . On a : $u^{k+1}v - v u^{k+1} = u (u^k v) - v u^{k+1} = u (v u^k + k u^k) - v u^{k+1}$ En utilisant $uv = vu + u$ , il vient : $u^{k+1}v - v u^{k+1} = (vu + u)u^k + k u^{k+1} - v u^{k+1} = vu^{k+1} + u^{k+1} + k u^{k+1} - v u^{k+1}$ D'où : $\boxed{u^{k+1} v - v u^{k+1} = (k+1) u^{k+1}}$ La propriété est donc démontrée par récurrence.
2. Considérons l'application $\Phi : \mathcal{L}(E) \to \mathcal{L}(E)$ définie par $\Phi(w) = w \circ v - v \circ w$ . $\Phi$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $\mathcal{L}(E)$ , qui est de dimension finie $n^2$ . D'après la question précédente, si $u^k \neq 0$ , alors $u^k$ est un vecteur propre de $\Phi$ associé à la valeur propre $k$ . Si $u$ n'était pas nilpotent, alors $u^k$ serait non nul pour tout $k \in \mathbb{N}$ . $\Phi$ posséderait alors une infinité de valeurs propres distinctes ( $0, 1, 2, \dots$ ), ce qui est impossible en dimension finie. On en conclut que $u$ est nilpotent.
Réduction simultanée
1. Soit $x \in \text{Ker}(u)$ . On a $u(x) = 0$ . Calculons $u(v(x))$ en utilisant la relation $uv - vu = u$ : $u(v(x)) = v(u(x)) + u(x) = v(0) + 0 = 0$ Ainsi, $v(x) \in \text{Ker}(u)$ , donc $\text{Ker}(u)$ est stable par $v$ . Puisque $u$ est nilpotent et $E \neq \{0\}$ , on a $\text{Ker}(u) \neq \{0\}$ . Soit $v_{\text{Ker}(u)}$ la restriction de $v$ à ce sous-espace stable. Son polynôme caractéristique est scindé (car nous sommes sur $\mathbb{C}$ ), donc $v_{\text{Ker}(u)}$ admet au moins un vecteur propre $e \in \text{Ker}(u)$ . Ce vecteur $e$ vérifie $v(e) = \lambda e$ et $u(e) = 0$ . Comme $0$ est la seule valeur propre d'un nilpotent, $e$ est bien un vecteur propre commun.
2. On procède par récurrence sur $n = \dim E$ . Le cas $n=1$ est immédiat. Supposons la propriété vraie jusqu'au rang $n-1$ . D'après 2.(a), il existe un vecteur propre commun $e_1$ pour $u$ et $v$ . En complétant $e_1$ en une base de $E$ , les matrices de $u$ et $v$ s'écrivent par blocs : $M(u) = \begin{pmatrix} 0 & L_u 0 & U' \end{pmatrix}, M(v) = \begin{pmatrix} \lambda & L_v 0 & V' \end{pmatrix}$ La relation $uv - vu = u$ se transmet aux blocs $U'$ et $V'$ de taille $(n-1) \times (n-1)$ : $U'V' - V'U' = U'$ Par hypothèse de récurrence, $U'$ et $V'$ sont simultanément trigonalisables. Il existe donc une base de l'espace supplémentaire de $\text{Vect}(e_1)$ qui convient, ce qui achève la construction d'une base de trigonalisation commune pour $E$ .
Cas $\text{rg$ (u) = n-1rg(u)=n−1}
1. On sait que $u$ est nilpotent. Soit $d_k = \dim \text{Ker}(u^k)$ . Puisque $\dim \text{Ker}(u) = 1$ , et que la suite $(d_k)$ est strictement croissante jusqu'à l'indice de nilpotence, on doit avoir $d_k \geqslant k$ . Par ailleurs, on sait que pour tout endomorphisme, $d_{k+1} - d_k \leqslant d_1$ . Ici, $d_{k+1} - d_k \leqslant 1$ . Comme $d_0 = 0$ et $d_n = n$ , la seule possibilité est que l'augmentation soit exactement de 1 à chaque étape. $\boxed{\dim \text{Ker}(u^k) = k \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket}$
2. Soit $E_\lambda$ un sous-espace propre de $v$ pour la valeur propre $\lambda$ . Si $x \in E_\lambda$ , alors : $v(u(x)) = u(v(x)) - u(x) = u(\lambda x) - u(x) = (\lambda - 1) u(x)$ Ainsi $u(E_\lambda) \subset E_{\lambda-1}$ . Soit $\lambda_n$ la plus grande valeur propre. Si $\lambda_n - 1$ n'était pas valeur propre, alors $u(E_{\lambda_n}) = \{0\}$ , donc $E_{\lambda_n} \subset \text{Ker}(u)$ . Comme $\dim \text{Ker}(u) = 1$ , cela impose $\dim E_{\lambda_n} = 1$ . Par récurrence, si $u_{|E_\lambda}$ est injective, $\dim E_{\lambda-1} \geqslant \dim E_\lambda$ . Comme $\sum \dim E_{\lambda_i} = n$ , et que les valeurs propres sont au plus au nombre de $n$ , on en déduit qu'il y a exactement $n$ valeurs propres formant la suite $(\alpha+1, \dots, \alpha+n)$ et que chaque espace est de dimension 1.
3. Puisque $\text{rg}(u^{n-1}) = n - (n-1) = 1$ , $u^{n-1}$ n'est pas nul. Le vecteur $e_1 = u^{n-1}(e_n)$ est non nul. Les vecteurs $e_i = u^{n-i}(e_n)$ forment une famille libre car ils appartiennent à des sous-espaces propres de $v$ associés à des valeurs propres distinctes : $v(e_i) = v(u^{n-i} e_n) = (\lambda_n - (n-i)) e_i = (\lambda_1 + i - 1) e_i$ La matrice de $v$ est diagonale : $M(v) = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_1+1, \dots, \lambda_1+n-1)$ . La matrice de $u$ est celle d'un décalage : $u(e_i) = u(u^{n-i} e_n) = u^{n-(i-1)} e_n = e_{i-1}$ pour $i > 1$ et $u(e_1) = 0$ . $\boxed{M(u) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & 0 & \ddots & \ddots & & & \ddots & 1 0 & & & 0 \end{pmatrix}}$

Attention à ne pas affirmer que $u$ est nilpotent simplement parce qu'il a une valeur propre nulle. Il faut bien utiliser l'argument de la dimension finie sur le spectre de l'opérateur de commutation $\Phi$ .