Existence d'un triplet de Jacobson-Morozov

_2$-triplet associé à une matrice nilpotente}

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $X \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente.

Démontrer qu'il existe deux matrices $M$ et $Y$ appartenant à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ vérifiant les relations de commutation suivantes :

[M, X] = 2X,   [M, Y] = -2Y   \text{et}   [X, Y] = M

où le crochet de Lie est défini par $[A, B] = AB - BA$ .

1.

Commencer par traiter le cas où l'endomorphisme associé à $X$ possède un vecteur $v$ tel que la famille $(v, Xv, \dots, X^{n-1}v)$ soit une base de $\mathbb{C}^n$ (cas d'un bloc nilpotent maximal).

2.

Dans ce cas, chercher $M$ sous forme d'une matrice diagonale dans une base adaptée au caractère nilpotent de $X$ .

3.

Pour le cas général, utiliser le fait que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs, où chaque bloc correspond au cas précédent.

Idées clés

•

Réduction du problème à l'étude d'un seul "bloc" cyclique nilpotent.

•

Construction explicite de $M$ (diagonale) et $Y$ (décalage pondéré) dans une base adaptée.

•

Utilisation de la structure de bloc pour généraliser à toute matrice nilpotente.

Étape 1 : Analyse dans le cas d'un seul bloc cyclique.

Supposons qu'il existe une base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_k)$ de $\mathbb{C}^k$ telle que :

X e_1 = 0   \text{et}   \forall i \in \{2, \dots, k\}, \ X e_i = e_{i-1}

Cherchons une matrice $M$ diagonale dans cette base : $M = \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_k)$ .

Calculons l'action de $[M, X]$ sur les vecteurs de base :

[M, X] e_1 = M X e_1 - X M e_1 = 0 - X (\mu_1 e_1) = 0

Pour $i \in \{2, \dots, k\}$ :

[M, X] e_i = M(X e_i) - X(M e_i) = M e_{i-1} - X(\mu_i e_i) = \mu_{i-1} e_{i-1} - \mu_i e_{i-1} = (\mu_{i-1} - \mu_i) e_{i-1}

On souhaite $[M, X] = 2X$ , ce qui impose $2 X e_i = 2 e_{i-1}$ . On obtient la relation de récurrence :

\forall i \in \{2, \dots, k\}, \ \mu_{i-1} - \mu_i = 2

Ceci montre que la suite $(\mu_i)$ est arithmétique de raison $-2$ . On a donc :

\mu_i = \mu_1 - 2(i-1)

Étape 2 : Construction de $Y$ et détermination de $\mu_1$ .

Cherchons $Y$ sous la forme d'un opérateur de décalage : $Y e_i = \alpha_i e_{i+1}$ pour $i < k$ et $Y e_k = 0$ .

Calculons $[X, Y] e_i$ pour $i \in \{1, \dots, k\}$ (en posant $\alpha_0 = 0$ et $e_{k+1}=0$ ) :

[X, Y] e_i = X(Y e_i) - Y(X e_i) = \alpha_i X e_{i+1} - Y e_{i-1} = \alpha_i e_i - \alpha_{i-1} e_i = (\alpha_i - \alpha_{i-1}) e_i

On veut $[X, Y] = M$ , soit $\alpha_i - \alpha_{i-1} = \mu_i$ . Par sommation :

\alpha_i = \sum_{j=1}^i \mu_j = \sum_{j=1}^i (\mu_1 - 2j + 2) = i \mu_1 - 2 \frac{i(i+1)}{2} + 2i = i(\mu_1 - i + 1)

La condition $Y e_k = 0$ impose $\alpha_k = 0$ , soit $k(\mu_1 - k + 1) = 0$ . Comme $k \neq 0$ , on en déduit :

\boxed{\mu_1 = k-1}

On en déduit les valeurs des coefficients :

\mu_i = k - 2i + 1   \text{et}   \alpha_i = i(k-i)

Étape 3 : Vérification de la dernière relation.

Vérifions enfin $[M, Y] = -2Y$ . Pour $i < k$ :

[M, Y] e_i = M(Y e_i) - Y(M e_i) = \alpha_i M e_{i+1} - \mu_i Y e_i = \alpha_i \mu_{i+1} e_{i+1} - \mu_i \alpha_i e_{i+1}

[M, Y] e_i = \alpha_i (\mu_{i+1} - \mu_i) e_{i+1}

Comme $\mu_{i+1} - \mu_i = -2$ par construction, on a bien $[M, Y] e_i = -2 \alpha_i e_{i+1} = -2 Y e_i$ .

Étape 4 : Passage au cas général.

Toute matrice nilpotente $X$ est semblable à une matrice diagonale par blocs $X' = \text{diag}(J_{k_1}, \dots, J_{k_p})$ où chaque $J_{k_m}$ est un bloc cyclique de taille $k_m$ .

D'après les étapes précédentes, pour chaque bloc $J_{k_m}$ , il existe $M_m$ et $Y_m$ vérifiant les relations. En posant :

M' = \text{diag}(M_1, \dots, M_p)   \text{et}   Y' = \text{diag}(Y_1, \dots, Y_p)

les relations de commutation sont satisfaites pour $(X', M', Y')$ .

Par similitude, si $X = P X' P^{-1}$ , il suffit de poser $M = P M' P^{-1}$ et $Y = P Y' P^{-1}$ pour conclure.

Une erreur classique serait de chercher $M$ comme une matrice scalaire. Or, la trace de $M$ doit être nulle puisque $M = [X, Y]$ (la trace d'un commutateur est toujours nulle).