Familles de matrices anti-commutatives

Résolution.

1. Équivalence entre (i) et (ii) :
   • Supposons qu'il existe $A, B \in GL_n(\mathbb{C})$ telles que $AB = -BA$. En prenant le déterminant, on obtient :
     $$\det(AB) = \det(-BA) = (-1)^n \det(BA)$$
     Comme $A$ et $B$ sont inversibles, $\det(A)\det(B) = \det(B)\det(A) \neq 0$. On en déduit par simplification :
     $$\boxed{1 = (-1)^n}$$
     Ceci impose que $n$ est un entier pair.
   • Réciproquement, si $n$ est pair, écrivons $n=2k$. Il suffit de construire un exemple pour $n=2$ et de l'étendre par blocs. Pour $n=2$, posons :
     $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1$$
     1 & 0 \end{pmatrix}   \text{et}   B = \begin{pmatrix} 0 & -1
     1 & 0 \end{pmatrix}
     On vérifie immédiatement que $A, B \in GL_2(\mathbb{C})$ et :
     $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0$$
     0 & -1 \end{pmatrix},   BA = \begin{pmatrix} -1 & 0
     0 & 1 \end{pmatrix} \implies AB = -BA
     Pour $n=2k$, on considère les matrices diagonales par blocs $A' = \text{diag}(A, \dots, A)$ et $B' = \text{diag}(B, \dots, B)$.

2. Cardinal maximal pour des symétries : Notons $k = v_2(n)$. Nous allons montrer que le cardinal maximal est $2k+1$. Construction : Pour $n=2$, les matrices de Pauli suivantes sont des symétries qui anti-commuent deux à deux :
   $$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1$$
   1 & 0 \end{pmatrix},   \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i
   i & 0 \end{pmatrix},   \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0
   0 & -1 \end{pmatrix}
   Le cardinal est $3 = 2(1)+1$. Supposons qu'on dispose d'une famille $(A_1, \dots, A_{2k+1})$ dans $\mathcal{M}_{2^k}(\mathbb{C})$. Pour $n=2^{k+1}$, on définit :
   $$\forall j \in \{1, \dots, 2k+1\},   A'_j = A_j \otimes \sigma_3 = \begin{pmatrix} A_j & 0$$
   0 & -A_j \end{pmatrix}
   $$A'_{2k+2} = I_{2^k} \otimes \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & I$$
   I & 0 \end{pmatrix},   A'_{2k+3} = I_{2^k} \otimes \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -iI
   iI & 0 \end{pmatrix}
   On vérifie que ces $2k+3$ matrices sont des symétries de $\mathcal{M}_{2^{k+1}}(\mathbb{C})$ et qu'elles anti-commuent. Par exemple, $A'_j A'_{2k+2} = \begin{pmatrix} 0 & A_j$
   -A_j & 0 \end{pmatrix} et $A'_{2k+2} A'_j = \begin{pmatrix} 0 & -A_j$
   A_j & 0 \end{pmatrix} = -A'_j A'_{2k+2}. Majoration : Soit $(A_1, \dots, A_p)$ une telle famille. Les produits $M_S = \prod_{j \in S} A_j$ pour $S \subseteq \{1, \dots, p\}$ forment une famille dont les éléments (hors $I_n$) sont de trace nulle. L'étude de l'algèbre de Clifford associée montre que la dimension de la représentation minimale est $2^{\lfloor p/2 \rfloor}$. On doit avoir $2^{\lfloor p/2 \rfloor} \le n$, ce qui mène à $\lfloor p/2 \rfloor \le v_2(n) = k$. D'où $p \le 2k+1$.
   $$\boxed{\text{Le cardinal maximal est } 2v_2(n) + 1}$$

3. Cardinal maximal pour des matrices inversibles : Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille anti-commutative de matrices inversibles. Comme nous sommes sur $\mathbb{C}$, pour chaque $i$, il existe $\lambda_i \in \mathbb{C}^*$ tel que $A_i^2 = \lambda_i^2 I_n$ ? Non, ce n'est pas immédiat. Cependant, si $A_i, A_j$ anti-commuent, alors $A_i^2$ commute avec $A_j$ car :
   $$A_i^2 A_j = A_i (A_i A_j) = -A_i A_j A_i = (-A_i A_j) A_i = A_j A_i^2$$
   Ainsi, chaque $A_i^2$ commute avec tous les éléments de la famille. Dans une famille maximale, on peut montrer que les $A_i^2$ sont des homothéties $c_i I_n$ (par un argument de Schur ou de réduction simultanée sur des sous-espaces stables). Quitte à remplacer $A_i$ par $\frac{1}{\sqrt{c_i}} A_i$, on se ramène au cas des symétries traité à la question précédente. Le résultat est donc identique.
   $$\boxed{\text{Le cardinal maximal est } 2v_2(n) + 1}$$