Diagonalisabilité d'une matrice par blocs

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ et on définit la matrice $B \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ par la structure de blocs suivante :

B = \begin{pmatrix} A & 2 A -A & 2 A \end{pmatrix}

Démontrer que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ si, et seulement si, la matrice $B$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ .

1.

On pourra remarquer que $B$ s'écrit comme un produit "bloc par bloc" faisant intervenir la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 2 \end{pmatrix}$ .

2.

Étudier la diagonalisabilité de $M$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

3.

Utiliser une matrice de passage par blocs pour transformer $B$ en une matrice diagonale par blocs.

4.

Rappeler qu'une matrice diagonale par blocs $\text{diag}(M_1, M_2)$ est diagonalisable si et seulement si chaque bloc $M_i$ l'est.

Idées clés

•

Réduction d'une matrice de petite taille agissant sur les blocs.

•

Utilisation de la structure de transvection ou de produit tensoriel implicite.

•

Lien entre la diagonalisabilité d'une matrice et de ses restrictions à des sous-espaces stables.

Résolution.

Considérons la matrice auxiliaire $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

Calculons son polynôme caractéristique $\chi_M(X)$ :

\chi_M(X) = \det(X I_2 - M) = \begin{vmatrix} X-1 & -2 1 & X-2 \end{vmatrix} = (X-1)(X-2) + 2 = X^2 - 3X + 4

Le discriminant de ce trinôme est $\Delta = (-3)^2 - 4(4) = 9 - 16 = -7$ .

Les racines de $\chi_M$ sont complexes, distinctes et valent :

\lambda_1 = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}   \text{et}   \lambda_2 = \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}

Puisque $M$ possède deux valeurs propres distinctes en dimension 2, $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

Il existe donc une matrice inversible $P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} p_{21} & p_{22} \end{pmatrix} \in GL_2(\mathbb{C})$ telle que :

\boxed{ P^{-1} M P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} }

Définissons maintenant la matrice de passage par blocs $\mathcal{P} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ par :

\mathcal{P} = \begin{pmatrix} p_{11} I_n & p_{12} I_n p_{21} I_n & p_{22} I_n \end{pmatrix}

Par les règles de calcul sur les matrices par blocs (qui se comportent ici comme le produit tensoriel $P \otimes I_n$ ), $\mathcal{P}$ est inversible d'inverse $\mathcal{P}^{-1} = \begin{pmatrix} q_{11} I_n & q_{12} I_n q_{21} I_n & q_{22} I_n \end{pmatrix}$ où les $q_{ij}$ sont les coefficients de $P^{-1}$ .

Un calcul par blocs montre que :

\mathcal{P}^{-1} B \mathcal{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1 A & 0 0 & \lambda_2 A \end{pmatrix}

Notons $B'$ cette matrice diagonale par blocs. La matrice $B$ est diagonalisable si et seulement si $B'$ l'est.

Condition suffisante : Supposons $A$ diagonalisable. Alors il existe $Q \in GL_n(\mathbb{C})$ tel que $Q^{-1} A Q = D$ est diagonale.

Dans ce cas, la matrice $\mathcal{Q} = \begin{pmatrix} Q & 0 0 & Q \end{pmatrix}$ permet de diagonaliser simultanément les deux blocs :

\mathcal{Q}^{-1} B' \mathcal{Q} = \begin{pmatrix} \lambda_1 Q^{-1} A Q & 0 0 & \lambda_2 Q^{-1} A Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 D & 0 0 & \lambda_2 D \end{pmatrix}

Cette dernière matrice étant diagonale, $B'$ est diagonalisable, donc $B$ l'est.

Condition nécessaire : Supposons $B$ diagonalisable, alors $B'$ l'est également.

Comme $B'$ est diagonale par blocs, ses sous-espaces propres sont la somme directe des sous-espaces propres de chaque bloc. Un résultat classique stipule qu'une matrice diagonale par blocs est diagonalisable si et seulement si chaque bloc diagonal est diagonalisable.

Ainsi, $\lambda_1 A$ et $\lambda_2 A$ sont diagonalisables.

Comme $\lambda_1 \neq 0$ (car $\det(M) = 4 \neq 0$ ), la diagonalisabilité de $\lambda_1 A$ implique celle de $A$ :

\boxed{ A = \frac{1}{\lambda_1} (\lambda_1 A) }

On en conclut l'équivalence.

Attention à ne pas oublier de justifier que les valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont non nulles. Si l'une des valeurs propres était nulle, on perdrait l'équivalence car $0 \cdot A$ est toujours diagonalisable, même si $A$ ne l'est pas.