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Réduction d'une suite de matrices par blocs

déterminant par blocspolynôme annulateurmultiplicitétraceRécurrenceDéterminant par blocsThéorème de diagonalisabilité

On considère la suite de matrices (An)n∈N∗(A_n)_{n \in \mathbb{N}^*} définie par :

A1=(111−1)∈M2(R)et∀n∈N∗, An+1=(AnAnAn−An)∈M2n+1(R)A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1
1 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})   \text{et}   \forall n \in \mathbb{N}^*, \ A_{n+1} = \begin{pmatrix} A_n & A_n
A_n & -A_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2^{n+1}}(\mathbb{R})

  1. Montrer que pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, on a An2=2nI2nA_n^2 = 2^n I_{2^n}.
  2. En déduire que AnA_n est diagonalisable sur R\mathbb{R}.
  3. Pour n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, déterminer le polynôme caractéristique de AnA_n.
  4. En déduire le spectre de AnA_n ainsi que la dimension de chaque sous-espace propre.

1.

Pour la question 1, procéder par récurrence en utilisant le produit matriciel par blocs.

2.

Pour la question 2, rechercher un polynôme annulateur scindé à racines simples.

3.

Pour la question 3, utiliser la formule du déterminant par blocs pour des matrices dont les blocs commutent : det⁡(MNPQ)=det⁡(MQ−NP)\det \begin{pmatrix} M & N
P & Q \end{pmatrix} = \det(MQ - NP) si MP=PMMP = PM.

4.

Pour la question 4, utiliser la trace pour comparer les multiplicités des valeurs propres.

Idées clés

•

Récurrence sur la structure par blocs.

•

Utilisation d'un polynôme annulateur pour la diagonalisabilité.

•

Calcul de déterminant par blocs avec commutativité.

•

Relation entre trace, valeurs propres et multiplicités.

Résolution.

  1. Procédons par récurrence sur n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Initialisation : Pour n=1n=1, A12=(111−1)(111−1)=(2002)=21I2A_1^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1
    1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1
    1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0
    0 & 2 \end{pmatrix} = 2^1 I_2    . La propriété est vraie. Hérédité : Supposons que An2=2nI2nA_n^2 = 2^n I_{2^n} pour un certain n≥1n \ge 1. Calculons An+12A_{n+1}^2 par blocs :
    An+12=(AnAnAn−An)(AnAnAn−An)=(An2+An2An2−An2An2−An2An2+An2)A_{n+1}^2 = \begin{pmatrix} A_n & A_n
    A_n & -A_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_n & A_n
    A_n & -A_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_n^2 + A_n^2 & A_n^2 - A_n^2
    A_n^2 - A_n^2 & A_n^2 + A_n^2 \end{pmatrix}
    D'après l'hypothèse de récurrence :
    An+12=(2⋅2nI2n002⋅2nI2n)=(2n+1I2n002n+1I2n)=2n+1I2n+1A_{n+1}^2 = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2^n I_{2^n} & 0
    0 & 2 \cdot 2^n I_{2^n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{n+1} I_{2^n} & 0
    0 & 2^{n+1} I_{2^n} \end{pmatrix} = 2^{n+1} I_{2^{n+1}}
    L'hérédité est établie. Par récurrence :
    ∀n∈N∗, An2=2nI2n\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^*, \ A_n^2 = 2^n I_{2^n}}

  2. Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. D'après la question précédente, le polynôme P(X)=X2−2nP(X) = X^2 - 2^n est un polynôme annulateur de AnA_n. Ses racines dans R\mathbb{R} sont 2n\sqrt{2^n} et −2n-\sqrt{2^n}. Ce polynôme est scindé sur R\mathbb{R} et possède deux racines simples (car 2n>02^n > 0).
    An est donc diagonalisable sur R.\boxed{A_n \text{ est donc diagonalisable sur } \mathbb{R}.}

  3. Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Posons χn(X)=det⁡(XI2n−An)\chi_n(X) = \det(X I_{2^n} - A_n). Pour n+1n+1, on a :
    χn+1(X)=det⁡(XI2n−An−An−AnXI2n+An)\chi_{n+1}(X) = \det \begin{pmatrix} X I_{2^n} - A_n & -A_n
    -A_n & X I_{2^n} + A_n \end{pmatrix}
    Les quatre blocs sont des polynômes en AnA_n, ils commutent donc entre eux. On peut utiliser la formule du déterminant par blocs :
    χn+1(X)=det⁡[(XI2n−An)(XI2n+An)−(−An)(−An)]\chi_{n+1}(X) = \det \left[ (X I_{2^n} - A_n)(X I_{2^n} + A_n) - (-A_n)(-A_n) \right]
    En développant, on obtient :
    χn+1(X)=det⁡(X2I2n−An2−An2)=det⁡(X2I2n−2An2)\chi_{n+1}(X) = \det (X^2 I_{2^n} - A_n^2 - A_n^2) = \det (X^2 I_{2^n} - 2A_n^2)
    D'après la question 1, 2An2=2n+1I2n2A_n^2 = 2^{n+1} I_{2^n}. Ainsi :
    χn+1(X)=det⁡((X2−2n+1)I2n)\chi_{n+1}(X) = \det \left( (X^2 - 2^{n+1}) I_{2^n} \right)
    La matrice est scalaire de taille 2n×2n2^n \times 2^n, son déterminant est immédiat :
    χn+1(X)=(X2−2n+1)2n\boxed{\chi_{n+1}(X) = (X^2 - 2^{n+1})^{2^n}}
    Pour n=1n=1, χ1(X)=det⁡(X−1−1−1X+1)=X2−2=(X2−21)20\chi_1(X) = \det \begin{pmatrix} X-1 & -1
    -1 & X+1 \end{pmatrix} = X^2-2 = (X^2-2^1)^{2^0}    , ce qui est cohérent. Par décalage d'indice :
    ∀n∈N∗, χn(X)=(X2−2n)2n−1\boxed{\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \chi_n(X) = (X^2 - 2^n)^{2^{n-1}}}

  4. Les valeurs propres de AnA_n sont les racines de χn\chi_n. Le spectre est donc :
    Sp(An)={2n/2,−2n/2}\boxed{\text{Sp}(A_n) = \{ 2^{n/2}, -2^{n/2} \}}
    Soient m+m_+ et m−m_- les multiplicités respectives de λ+=2n/2\lambda_+ = 2^{n/2} et λ−=−2n/2\lambda_- = -2^{n/2}. D'après le polynôme caractéristique calculé ci-dessus, on a directement m+=m−=2n−1m_+ = m_- = 2^{n-1}. On peut le vérifier par la trace : Tr(An)=∑λi=m+2n/2−m−2n/2=(m+−m−)2n/2\text{Tr}(A_n) = \sum \lambda_i = m_+ 2^{n/2} - m_- 2^{n/2} = (m_+ - m_-) 2^{n/2}. Par récurrence, Tr(An+1)=Tr(An)+Tr(−An)=0\text{Tr}(A_{n+1}) = \text{Tr}(A_n) + \text{Tr}(-A_n) = 0. Comme Tr(A1)=0\text{Tr}(A_1) = 0, on a Tr(An)=0\text{Tr}(A_n) = 0 pour tout nn. Ceci impose m+=m−m_+ = m_-. Comme la somme des dimensions des sous-espaces propres est 2n2^n (car AnA_n est diagonalisable) :
    dim⁡E2n/2(An)=dim⁡E−2n/2(An)=2n−1\boxed{\dim E_{2^{n/2}}(A_n) = \dim E_{-2^{n/2}}(A_n) = 2^{n-1}}

Attention à ne pas confondre la taille de la matrice (2n×2n2^n \times 2^n) avec l'indice nn. Lors du passage au déterminant d'une matrice scalaire λIN\lambda I_N, le résultat est λN\lambda^N. Ici N=2nN = 2^n.