Trigonalisation du produit de Kronecker

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On considère deux matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ , où $\mathbb{K}$ désigne un corps (généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On suppose que $A$ et $B$ sont trigonalisables dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ respectivement.

Démontrer que le produit tensoriel (ou produit de Kronecker) $A \otimes B \in \mathcal{M}_{np}(\mathbb{K})$ est une matrice trigonalisable.
Déterminer le polynôme caractéristique de $A \otimes B$ en fonction des valeurs propres de $A$ et de $B$ comptées avec multiplicité.

1.

Utiliser le fait qu'une matrice est trigonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

2.

Exploiter la propriété fondamentale du produit de Kronecker : $(M \otimes N)(P \otimes Q) = (MP) \otimes (NQ)$ pour des tailles de matrices compatibles.

3.

Étudier la structure de $T_1 \otimes T_2$ lorsque $T_1$ et $T_2$ sont deux matrices triangulaires supérieures.

4.

Se rappeler que les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.

Idées clés

•

Changement de base via le produit de Kronecker : $(P \otimes Q)^{-1} = P^{-1} \otimes Q^{-1}$ .

•

Stabilité de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures par produit de Kronecker.

•

Lien entre spectre et coefficients diagonaux pour les matrices trigonalisables.

Résolution.

Par hypothèse, $A$ et $B$ sont trigonalisables sur $\mathbb{K}$ . Il existe donc des matrices inversibles $P \in GL_n(\mathbb{K})$ et $Q \in GL_p(\mathbb{K})$ telles que : $A = P T_A P^{-1} \text{et} B = Q T_B Q^{-1}$ où $T_A$ et $T_B$ sont des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ . En utilisant les propriétés du produit de Kronecker, on a : $A \otimes B = (P T_A P^{-1}) \otimes (Q T_B Q^{-1})$ D'après la propriété de distributivité du produit tensoriel par rapport au produit matriciel $(M \otimes N)(R \otimes S) = (MR) \otimes (NS)$ , on obtient : $A \otimes B = (P \otimes Q) (T_A \otimes T_B) (P^{-1} \otimes Q^{-1})$ On remarque que $(P \otimes Q)(P^{-1} \otimes Q^{-1}) = (PP^{-1}) \otimes (QQ^{-1}) = I_n \otimes I_p = I_{np}$ . Ainsi, $P \otimes Q$ est inversible et sa réciproque est $P^{-1} \otimes Q^{-1}$ . La matrice $A \otimes B$ est donc semblable à $T_A \otimes T_B$ . Examinons la structure de $T = T_A \otimes T_B$ . Par définition, si $T_A = (t_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ , alors $T$ est une matrice par blocs de la forme : $T = \begin{pmatrix} t_{1,1} T_B & t_{1,2} T_B & \dots & t_{1,n} T_B 0 & t_{2,2} T_B & \dots & t_{2,n} T_B \vdots & \vdots & \ddots & \vdots 0 & 0 & \dots & t_{n,n} T_B \end{pmatrix}$ Comme $T_A$ est triangulaire supérieure, les blocs sous la diagonale (ceux pour lesquels $i > j$ ) sont nuls. De plus, chaque bloc diagonal $t_{i,i} T_B$ est lui-même une matrice triangulaire supérieure de taille $p \times p$ , car $T_B$ l'est. Par conséquent, $T$ est une matrice triangulaire supérieure. $\boxed{A \otimes B \text{ est semblable à une matrice triangulaire supérieure, donc elle est trigonalisable.}}$
Notons $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ les éléments diagonaux de $T_A$ , qui sont les valeurs propres de $A$ comptées avec multiplicité. De même, notons $(\mu_1, \dots, \mu_p)$ les éléments diagonaux de $T_B$ , qui sont les valeurs propres de $B$ comptées avec multiplicité. D'après la forme de $T = T_A \otimes T_B$ établie précédemment, les éléments diagonaux de $T$ sont les produits des éléments diagonaux de $T_A$ et de $T_B$ . Plus précisément, les éléments diagonaux de $T$ sont exactement les $np$ scalaires : $\{ \lambda_i \mu_j \mid 1 \le i \le n, 1 \le j \le p \}$ Le polynôme caractéristique d'une matrice trigonalisable est scindé et ses racines sont ses coefficients diagonaux. On en déduit : $\chi_{A \otimes B}(X) = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^p (X - \lambda_i \mu_j)$ On peut également exprimer cela en utilisant le fait que $\chi_A(X) = \prod_{i=1}^n (X - \lambda_i)$ et $\chi_B(X) = \prod_{j=1}^p (X - \mu_j)$ . Le résultat final est donc : $\boxed{\chi_{A \otimes B}(X) = \prod_{i=1}^n \chi_B\left(\frac{X}{\lambda_i}\right) \lambda_i^p \text{si les } \lambda_i \neq 0}$ (plus généralement, c'est le produit des $(X - \lambda_i \mu_j)$ ).

Attention à l'ordre des éléments dans le produit de Kronecker. Bien que $A \otimes B$ et $B \otimes A$ soient semblables, leurs structures par blocs diffèrent. Il faut rester rigoureux sur la définition utilisée pour justifier le caractère triangulaire.