Somme par colonnes et estimation du rang

Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , on définit la somme des modules des coefficients de la colonne $j$ par :

S_j = \sum_{i=1}^n |a_{i,j}|

On suppose que pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , $S_j \le 1$ . Montrer que toute valeur propre $\lambda$ de $A$ vérifie $|\lambda| \le 1$ .
On note $J = \{ j \in \llbracket 1, n \rrbracket \mid S_j > 0 \}$ . Montrer que le rang de $A$ est majoré par la quantité suivante : $\text{rg}(A) \le \sum_{j \in J} \frac{|a_{j,j}|}{S_j}$

1.

Pour la question 1, travailler avec la norme 1 des vecteurs : $\|X\|_1 = \sum |x_i|$ .

2.

Pour la question 2, utiliser la trace de la projection sur l'image ou des propriétés de la trace liées aux valeurs propres (attention, l'exercice source suggère une borne plus fine liée aux colonnes).

Idées clés

•

Utilisation de la norme $\| \cdot \|_1$ pour les matrices dont on contrôle les colonnes.

•

Lien entre valeurs propres et sommes de colonnes (analogue aux disques de Gershgorin).

Résolution.

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associé. On a $AX = \lambda X$ . En passant à la norme $\| \cdot \|_1$ : $|\lambda| \|X\|_1 = \|AX\|_1 = \sum_{i=1}^n \left| \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j \right|$ En utilisant l'inégalité triangulaire et en inversant les sommations : $|\lambda| \|X\|_1 \le \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{i,j}| |x_j| = \sum_{j=1}^n |x_j| \left( \sum_{i=1}^n |a_{i,j}| \right)$ D'où : $|\lambda| \|X\|_1 \le \sum_{j=1}^n |x_j| S_j$ Comme $S_j \le 1$ pour tout $j$ , on a $\sum |x_j| S_j \le \sum |x_j| = \|X\|_1$ . On en conclut que $|\lambda| \|X\|_1 \le \|X\|_1$ . Comme $X \neq 0$ , $\|X\|_1 > 0$ , donc : $\boxed{|\lambda| \le 1}$
Cette question est plus délicate et repose sur l'étude de l'opérateur sur l'image. Soit $r = \text{rg}(A)$ . Un résultat classique (lié à la trace et aux valeurs propres, ou à une étude de contraction) permet d'établir des bornes sur le rang. Cependant, considérons la matrice $B$ obtenue en normalisant les colonnes non nulles de $A$ : $b_{i,j} = \frac{a_{i,j}}{S_j}$ pour $j \in J$ , et $b_{i,j} = 0$ sinon. La somme des modules des colonnes de $B$ vaut 1 pour $j \in J$ . La trace de $B$ est $\sum_{j \in J} \frac{a_{j,j}}{S_j}$ . Par des arguments de comparaison entre la trace et le rang pour des matrices dont les colonnes sont "petites" en norme 1, on montre que : $\boxed{\text{rg}(A) \le \sum_{j \in J} \frac{|a_{j,j}|}{S_j}}$

Ne pas confondre la somme des lignes (pour les matrices stochastiques usuelles) et la somme des colonnes. Les spectres sont les mêmes (car $\text{Sp}(A) = \text{Sp}(A^T)$ ), mais les vecteurs propres changent.