Propriétés spectrales des matrices stochastiques

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère une matrice $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . On dit que $A$ est stochastique si :

\forall (i,j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, \ a_{i,j} \ge 0   \text{et}   \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \ \sum_{j=1}^n a_{i,j} = 1

Montrer que $1$ est une valeur propre de $A$ .
Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$ . Montrer que $|\lambda| \le 1$ .
On suppose dans cette question que tous les coefficients de $A$ $A$ sont strictement positifs.
1. Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ de module $1$ . Montrer que $\lambda = 1$ .
2. Déterminer la dimension du sous-espace propre $E_1(A)$ .
3. Que peut-on dire si une puissance $A^k$ ( $k \in \mathbb{N}^*$ ) est à coefficients strictement positifs ?
Généralisation : On revient au cas où $A$ $A$ est seulement supposée stochastique.
1. Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $A$ de module $1$ , alors $\lambda$ est une racine de l'unité.
2. Soit $\mu = \min \{a_{i,j} \mid 1 \le i,j \le n \}$ . Montrer que toute valeur propre $\lambda$ de $A$ vérifie $|\lambda - \mu| \le 1 - \mu$ .

1.

Pour la question 1, considérer le vecteur colonne $U$ dont toutes les composantes valent $1$ .

2.

Pour la question 2, si $AX = \lambda X$ , s'intéresser à une composante de $X$ de module maximal.

3.

Pour la question 3(a), utiliser le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire complexe.

4.

Pour la question 4(a), montrer que si $x_{i_0}$ est de module maximal, alors $\lambda x_{i_0}$ est aussi une composante de $X$ , puis itérer.

Idées clés

•

Norme infinie et vecteur propre associé à la plus grande composante.

•

Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire : $\left| \sum z_i \right| = \sum |z_i|$ .

•

Argument de finitude pour les racines de l'unité.

Résolution.

Considérons le vecteur colonne $U = \begin{pmatrix} 1 \vdots 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ . Pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , la $i$ -ème ligne du produit $AU$ est donnée par $\sum_{j=1}^n a_{i,j} \times 1 = 1$ . On a donc $AU = U$ . Comme $U \neq 0$ , on en déduit que : $\boxed{1 \in \text{Sp}(A)}$
Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$ et $X = \begin{pmatrix} x_1 \vdots x_n \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^n$ un vecteur propre associé. Soit $i_0 \in \llbracket 1, n \rrbracket$ un indice tel que $|x_{i_0}| = \max_{1 \le j \le n} |x_j| = \|X\|_\infty$ . Comme $X \neq 0$ , on a $|x_{i_0}| > 0$ . L'égalité $AX = \lambda X$ donne à la ligne $i_0$ : $\lambda x_{i_0} = \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} x_j$ . En passant au module et en utilisant l'inégalité triangulaire : $|\lambda| |x_{i_0}| \le \sum_{j=1}^n |a_{i_0,j}| |x_j| = \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} |x_j|$ En majorant tous les $|x_j|$ par $|x_{i_0}|$ , on obtient : $|\lambda| |x_{i_0}| \le \left( \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} \right) |x_{i_0}| = 1 \cdot |x_{i_0}|$ Comme $|x_{i_0}| > 0$ , on conclut que : $\boxed{|\lambda| \le 1}$
On suppose $a_{i,j} > 0$ $a_{i, j} > 0$ pour tout $(i,j)$ $(i, j)$ .
1. Soit $\lambda$ tel que $|\lambda|=1$ . Reprenons l'égalité : $x_{i_0} = \lambda^{-1} \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} x_j$ . Comme $|\lambda|=1$ , on a $|x_{i_0}| = | \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} x_j | \le \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} |x_j| \le |x_{i_0}|$ . On est dans le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire. Comme tous les $a_{i_0,j}$ sont strictement positifs, tous les $x_j$ doivent être colinéaires à un même nombre complexe et avoir le même module pour saturer l'égalité $| \sum a_{i_0,j} x_j | = \sum a_{i_0,j} |x_j|$ . Ceci implique que tous les $x_j$ sont égaux à $x_{i_0}$ . L'équation devient alors $x_{i_0} = \sum_{j=1}^n a_{i_0,j} x_{i_0} = \lambda x_{i_0}$ , d'où : $\boxed{\lambda = 1}$
2. D'après ce qui précède, si $AX = X$ , alors $x_1 = x_2 = \dots = x_n$ . Le sous-espace propre $E_1(A)$ est donc engendré par le vecteur $U$ . On en déduit : $\boxed{\dim E_1(A) = 1}$
3. Si $A^k$ est à coefficients strictement positifs, les valeurs propres de $A^k$ de module $1$ sont limitées à $\{1\}$ . Si $\lambda \in \text{Sp}(A)$ avec $|\lambda|=1$ , alors $\lambda^k \in \text{Sp}(A^k)$ et $|\lambda^k|=1$ , donc $\lambda^k = 1$ . Cependant, la condition $A^k > 0$ impose également que $1$ est valeur propre simple de $A^k$ .
Cas général :
1. Si $|\lambda|=1$ , l'égalité $|\sum a_{i_0,j} x_j| = \sum a_{i_0,j} |x_j|$ impose que pour tout $j$ tel que $a_{i_0,j} > 0$ , on a $x_j = \lambda x_{i_0}$ . Ceci signifie que l'ensemble des valeurs des composantes de $X$ est stable par multiplication par $\lambda$ . Comme il n'y a qu'un nombre fini de composantes, il existe $p, q$ tels que $\lambda^p x_{i_0} = \lambda^q x_{i_0}$ , donc $\lambda^{p-q} = 1$ . $\boxed{\lambda \text{ est une racine de l'unité}}$
2. Posons $B = \frac{1}{1-\mu} (A - \mu I_n)$ . Les coefficients de $B$ sont $b_{i,i} = \frac{a_{i,i}-\mu}{1-\mu} \ge 0$ et $b_{i,j} = \frac{a_{i,j}}{1-\mu} \ge 0$ . La somme des lignes de $B$ vaut $\frac{1}{1-\mu}(1 - \mu) = 1$ . Donc $B$ est stochastique. Ses valeurs propres $\lambda_B$ sont de module $\le 1$ . Or $\lambda_B = \frac{\lambda - \mu}{1 - \mu}$ . On en tire : $\boxed{|\lambda - \mu| \le 1 - \mu}$

Attention à ne pas oublier que les coefficients de la matrice sont réels, mais que les valeurs propres et vecteurs propres peuvent être complexes. L'utilisation du module est indispensable.