Calcul de puissances par interpolation polynomiale

Soit $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ une matrice dont le spectre est $\text{Sp}(A) = \{1, 2, -2\}$ . On souhaite exprimer les puissances successives de $A$ en fonction de ses premières puissances.

Justifier que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , il existe un unique triplet de réels $(\alpha_{n}, \beta_{n}, \gamma_{n})$ tel que : $A^{n} = \alpha_{n} A^{2} + \beta_{n} A + \gamma_{n} I_3$
On définit le polynôme $P_n = \alpha_{n} X^{2} + \beta_{n} X + \gamma_{n}$ . Montrer que pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$ , on a $P_n(\lambda) = \lambda^n$ . En déduire les valeurs de $P_n(1)$ , $P_n(2)$ et $P_n(-2)$ .
Déterminer explicitement les coefficients $\alpha_{n}, \beta_{n}$ et $\gamma_{n}$ en fonction de $n$ .
Variante : On considère maintenant une matrice $B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ de spectre $\{0, 1, 2\}$ . Montrer que pour $n \geq 1$ , $B^n$ peut s'écrire sous la forme $B^n = a_n B^2 + b_n B$ . Calculer $a_n$ et $b_n$ .

1.

Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton ou l'existence d'un polynôme annulateur de degré 3 pour effectuer une division euclidienne de $X^n$ .

2.

Pour la question 2, évaluer la relation issue de la division euclidienne aux racines du polynôme annulateur.

3.

Pour la variante, remarquer que si $0$ est valeur propre, le reste de la division de $X^n$ par le polynôme caractéristique n'a pas de terme constant.

Idées clés

•

Division euclidienne de $X^n$ par un polynôme annulateur $P$ .

•

Le reste $R$ vérifie $A^n = R(A)$ car $P(A)=0$ .

•

Évaluation aux racines pour obtenir un système linéaire sur les coefficients.

Résolution.

Le polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$ est scindé à racines simples puisque $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ possède trois valeurs propres distinctes. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $\chi_A(A) = 0_3$ . Effectuons la division euclidienne de $X^n$ par $\chi_A$ dans $\mathbb{R}[X]$ : Il existe $(Q_n, R_n) \in \mathbb{R}[X]^2$ tels que : $X^n = \chi_A(X) Q_n(X) + R_n(X) \text{avec} \deg(R_n) < 3$ En évaluant en $A$ , comme $\chi_A(A) = 0$ , on obtient : $\boxed{ A^n = R_n(A) }$ Comme $\deg(R_n) \le 2$ , il existe des réels $\alpha_n, \beta_n, \gamma_n$ tels que $R_n(X) = \alpha_n X^2 + \beta_n X + \gamma_n$ .
Les valeurs propres de $A$ sont les racines de $\chi_A$ . Soit $\lambda \in \{1, 2, -2\}$ . En évaluant la relation $X^n = \chi_A(X) Q_n(X) + P_n(X)$ en $\lambda$ , on obtient : $\lambda^n = 0 \cdot Q_n(\lambda) + P_n(\lambda)$ D'où les relations : $\boxed{ P_n(1) = 1^n = 1, P_n(2) = 2^n, P_n(-2) = (-2)^n }$
Nous devons résoudre le système suivant : $\begin{cases} \alpha_n + \beta_n + \gamma_n = 1 4\alpha_n + 2\beta_n + \gamma_n = 2^n 4\alpha_n - 2\beta_n + \gamma_n = (-2)^n \end{cases}$ En soustrayant les deux dernières lignes : $4\beta_n = 2^n - (-2)^n$ , donc : $\boxed{ \beta_n = \frac{2^n - (-2)^n}{4} }$ En additionnant les deux dernières lignes : $8\alpha_n + 2\gamma_n = 2^n + (-2)^n$ . De la première ligne, $\gamma_n = 1 - \alpha_n - \beta_n$ . On injecte : $8\alpha_n + 2(1 - \alpha_n - \beta_n) = 2^n + (-2)^n \iff 6\alpha_n = 2^n + (-2)^n - 2 + 2\beta_n$ Après calculs et simplification, on trouve : $\boxed{ \alpha_n = -\frac{1}{3} + \frac{2^n}{4} + \frac{(-2)^n}{12} }$ Et enfin : $\boxed{ \gamma_n = \frac{4}{3} - \frac{2^n}{2} + \frac{(-2)^n}{6} }$
Pour la matrice $B$ , le polynôme $\chi_B(X) = X(X-1)(X-2)$ est un polynôme annulateur. La division euclidienne donne $X^n = X(X-1)(X-2)Q(X) + a_n X^2 + b_n X + c_n$ . En évaluant en $X=0$ , on obtient $0^n = c_n$ . Pour $n \ge 1$ , $c_n = 0$ . Le système devient : $\begin{cases} a_n + b_n = 1^n = 1 4a_n + 2b_n = 2^n \end{cases}$ En divisant la deuxième par 2 : $2a_n + b_n = 2^{n-1}$ . Par soustraction : $a_n = 2^{n-1} - 1$ . Puis $b_n = 1 - a_n = 2 - 2^{n-1}$ . $\boxed{ B^n = (2^{n-1}-1) B^2 + (2-2^{n-1}) B }$

Attention à l'indice $n$ . Pour $n=0$ , $0^0$ n'est pas défini dans ce contexte, la formule pour $c_n$ change pour $n=0$ ( $B^0=I$ ). Toujours vérifier les premiers rangs.