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Exponentielle d'une matrice de rang 1

matrice Jexponentiellecommutationrang 1Propriété exp(A+B)Sommation de séries

Soit n∈N,n≥2n \in \mathbb{N}, n \ge 2. On considère la matrice J∈Mn(C)J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) dont tous les coefficients sont égaux à 11. On rappelle que pour deux matrices AA et BB qui commutent, exp⁡(A+B)=exp⁡(A)exp⁡(B)\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B).

  1. Pour tout k∈N∗k \in \mathbb{N}^*, exprimer JkJ^k en fonction de JJ et nn.
  2. En déduire l'expression de exp⁡(J)\exp(J) comme combinaison linéaire de InI_n et JJ.
  3. Soit M=J−InM = J - I_n la matrice ayant des 00 sur la diagonale et des 11 ailleurs. Calculer exp⁡(M)\exp(M).

1.

Calculer J2J^2 pour trouver une relation de récurrence.

2.

Utiliser la définition exp⁡(J)=∑k=0+∞Jkk!\exp(J) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{J^k}{k!} en isolant le terme k=0k=0.

3.

Utiliser la propriété de l'exponentielle d'une somme de matrices qui commutent avec A=JA=J et B=−InB=-I_n.

Idées clés

•

Propriété des matrices de rang 1 (ici JJ).

•

Morphisme exponentiel pour des matrices qui commutent.

Résolution.

  1. Calculons J2J^2. Par définition du produit matriciel, le coefficient (i,j)(i,j) de J2J^2 est :
    (J2)i,j=∑l=1nJi,lJl,j=∑l=1n1⋅1=n(J^2)_{i,j} = \sum_{l=1}^n J_{i,l} J_{l,j} = \sum_{l=1}^n 1 \cdot 1 = n
    Ainsi J2=nJJ^2 = n J. Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout k∈N∗k \in \mathbb{N}^* :
    Jk=nk−1J\boxed{J^k = n^{k-1} J}

  2. Utilisons la définition de l'exponentielle de JJ :
    exp⁡(J)=In+∑k=1+∞Jkk!\exp(J) = I_n + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{J^k}{k!}
    En remplaçant JkJ^k par l'expression trouvée précédemment :
    exp⁡(J)=In+∑k=1+∞nk−1k!J=In+1n(∑k=1+∞nkk!)J\exp(J) = I_n + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{n^{k-1}}{k!} J = I_n + \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{n^k}{k!} \right) J
    On reconnaît le développement en série de l'exponentielle usuelle en=∑k=0+∞nkk!=1+∑k=1+∞nkk!e^n = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{n^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{n^k}{k!}. D'où :
    exp⁡(J)=In+1n(en−1)J\exp(J) = I_n + \frac{1}{n} (e^n - 1) J
    exp⁡(J)=In+en−1nJ\boxed{\exp(J) = I_n + \frac{e^n - 1}{n} J}

  3. Les matrices JJ et −In-I_n commutent car l'identité commute avec toutes les matrices. On peut donc écrire :
    exp⁡(M)=exp⁡(J−In)=exp⁡(J)⋅exp⁡(−In)\exp(M) = \exp(J - I_n) = \exp(J) \cdot \exp(-I_n)
    On sait que exp⁡(−In)=e−1In\exp(-I_n) = e^{-1} I_n. Ainsi :
    exp⁡(M)=e−1(In+en−1nJ)\exp(M) = e^{-1} \left( I_n + \frac{e^n - 1}{n} J \right)
    exp⁡(M)=e−1In+en−1−e−1nJ\boxed{\exp(M) = e^{-1} I_n + \frac{e^{n-1} - e^{-1}}{n} J}

Attention à l'indice de la somme lors du calcul de exp⁡(J)\exp(J). La relation Jk=nk−1JJ^k = n^{k-1}J n'est vraie que pour k≥1k \ge 1. Pour k=0k=0, on a J0=InJ^0 = I_n, ce qui est différent de n−1Jn^{-1}J. Il faut donc impérativement sortir le terme InI_n de la somme.