Surjectivité de l'exponentielle complexe

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère l'application exponentielle de matrices :

\exp : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \longrightarrow \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})

L'objectif est de démontrer que cette application est surjective.

Soit $A \in \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ une matrice diagonalisable. Montrer qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $A = \exp(P(A))$ .
Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente. Montrer qu'il existe un polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ tel que $I_n + N = \exp(Q(N))$ .
En utilisant la décomposition de Dunford, établir que pour toute matrice $A \in \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ , il existe un polynôme $R \in \mathbb{C}[X]$ tel que $A = \exp(R(A))$ .
Conclure sur la surjectivité de l'exponentielle complexe.

1.

Pour le cas diagonalisable, utiliser l'interpolation de Lagrange pour construire un polynôme qui envoie chaque valeur propre $\lambda$ sur une de ses déterminations logarithmiques $\mu$ (telle que $e^\mu = \lambda$ ).

2.

Pour le cas $I_n + N$ , s'inspirer du développement en série entière de la fonction $x \mapsto \ln(1+x)$ .

3.

La décomposition de Dunford assure l'existence d'un couple $(D, N)$ tel que $A = D+N$ , avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotent, $DN=ND$ , où $D$ et $N$ sont des polynômes en $A$ .

4.

Pour le cas général, factoriser par $D$ et utiliser la commutativité des polynômes en une même matrice.

Idées clés

•

Décomposition de Dunford $A = D + N$ .

•

Interpolation de Lagrange pour le cas diagonalisable.

•

Logarithme d'une matrice unipotente (série tronquée).

•

Propriété : $\exp(M+M') = \exp(M)\exp(M')$ si $MM'=M'M$ .

Résolution.

Cas où $A$ est diagonalisable. Soit $A \in \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ diagonalisable. Ses valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ sont des complexes non nuls. Pour chaque $j \in \{1, \dots, p\}$ , il existe $\mu_j \in \mathbb{C}$ tel que $e^{\mu_j} = \lambda_j$ (surjectivité de l'exponentielle de $\mathbb{C}$ vers $\mathbb{C}^*$ ). D'après le théorème d'interpolation de Lagrange, il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que : $\forall j \in \{1, \dots, p\}, P(\lambda_j) = \mu_j$ Comme $A$ est diagonalisable, il existe $S \in \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ telle que $A = S \cdot \text{diag}(a_1, \dots, a_n) \cdot S^{-1}$ où les $a_k \in \{\lambda_1, \dots, \lambda_p\}$ . On a alors : $P(A) = S \cdot \text{diag}(P(a_1), \dots, P(a_n)) \cdot S^{-1}$ Par définition de l'exponentielle de matrice : $\exp(P(A)) = S \cdot \text{diag}(e^{P(a_1)}, \dots, e^{P(a_n)}) \cdot S^{-1}$ Or, pour tout $k$ , $e^{P(a_k)} = a_k$ par construction du polynôme $P$ . Ainsi : $\boxed{\exp(P(A)) = A}$
Cas unipotent ( $I_n + N$ avec $N$ nilpotente). On définit le polynôme "logarithme" $Q \in \mathbb{C}[X]$ par la série tronquée : $Q(X) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} X^k$ Posons $f(x) = \exp(\ln(1+x))$ . Le développement limité de $f$ à l'ordre $n-1$ en $0$ est $1+x + o(x^{n-1})$ . Par composition des développements limités, le polynôme obtenu en tronquant à l'ordre $n-1$ le développement de $\exp(Q(X))$ est exactement $1+X$ . Comme $N$ est nilpotente d'indice au plus $n$ , on a $N^k = 0$ pour tout $k \geq n$ . L'égalité des polynômes modulo $X^n$ se traduit par l'égalité matricielle : $\boxed{\exp(Q(N)) = I_n + N}$
Cas général. Soit $A \in \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ $A \in G l_{n} (C)$ . Le théorème de Dunford assure qu'il existe un unique couple $(D, N)$ $(D, N)$ tel que $A = D+N$ $A = D + N$ avec $D$ $D$ diagonalisable, $N$ $N$ nilpotent et $DN=ND$ $D N = N D$ . De plus, $D$ $D$ et $N$ $N$ sont des polynômes en $A$ $A$ . Puisque $A$ $A$ est inversible et que $A$ $A$ et $D$ $D$ ont les mêmes valeurs propres, les valeurs propres de $D$ $D$ sont non nulles. Donc $D$ $D$ est inversible. Comme $D$ $D$ est un polynôme en $A$ $A$ , $D^{-1}$ $D^{- 1}$ est aussi un polynôme en $D$ $D$ (via Cayley-Hamilton), donc un polynôme en $A$ $A$ . On peut factoriser :
$A = D(I_n + D^{-1}N)$
Posons $N' = D^{-1}N$ $N^{'} = D^{- 1} N$ . Comme $D$ $D$ et $N$ $N$ commutent et sont des polynômes en $A$ $A$ , $N'$ $N^{'}$ est également un polynôme en $A$ $A$ . Puisque $D^{-1}$ $D^{- 1}$ et $N$ $N$ commutent, $N'$ $N^{'}$ est nilpotente (le produit de deux matrices commutantes dont l'une est nilpotente est nilpotent). D'après les questions précédentes :
- $\exists P_1 \in \mathbb{C}[X]$ tel que $D = \exp(P_1(D))$ .
- $\exists P_2 \in \mathbb{C}[X]$ tel que $I_n + N' = \exp(P_2(N'))$ .
Notons $M_1 = P_1(D)$ $M_{1} = P_{1} (D)$ et $M_2 = P_2(N')$ $M_{2} = P_{2} (N^{'})$ . Ce sont des polynômes en $A$ $A$ , donc elles commutent. On a alors :
$\exp(M_1 + M_2) = \exp(M_1)\exp(M_2) = D(I_n + N') = A$
Comme $M_1 + M_2$ $M_{1} + M_{2}$ est une somme de polynômes en $A$ $A$ , c'est un polynôme en $A$ $A$ . Il existe donc $R \in \mathbb{C}[X]$ $R \in C [X]$ tel que :
$\boxed{A = \exp(R(A))}$
Conclusion. Toute matrice $A \in \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ possède un antécédent par l'exponentielle (qui est même un polynôme en $A$ ). L'application $\exp : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathcal{G}l_n(\mathbb{C})$ est donc surjective.

Attention : l'exponentielle n'est pas surjective de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vers $\mathcal{G}l_n(\mathbb{R})$ . Par exemple, une matrice réelle ayant une valeur propre strictement négative ne possède pas nécessairement d'antécédent réel.