Polynôme d'interpolation de l'exponentielle

Résolution.

1. L'ensemble $\mathbb{C}[M] = \text{Vect}(\{M^k, k \in \mathbb{N}\})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, la famille $(I, M, M^2)$ est liée, donc $\mathbb{C}[M] = \text{Vect}(I, M)$. Ainsi, $\mathbb{C}[M]$ est un sous-espace de dimension finie (1 ou 2), il est donc fermé dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. Par définition, $\exp(M) = \lim_{N \to +\infty} \sum_{k=0}^N \frac{M^k}{k!}$. Comme chaque somme partielle appartient à $\mathbb{C}[M]$ et que ce dernier est fermé, on en déduit :
   $$\boxed{\exp(M) \in \mathbb{C}[M]}$$
   Il existe donc bien un polynôme $P$ tel que $P(M) = \exp(M)$.

2. Soit $\mathcal{S} = \{P \in \mathbb{C}[X] \mid P(M) = \exp(M)\}$. D'après la question précédente, $\mathcal{S} \neq \emptyset$. Soit $Q \in \mathcal{S}$ un polynôme quelconque. Pour tout $P \in \mathbb{C}[X]$, on a :
   $$P(M) = \exp(M) \iff P(M) = Q(M) \iff (P-Q)(M) = 0$$
   Cela signifie que $P-Q$ est un multiple du polynôme minimal $\mu_M$. L'ensemble $\mathcal{S}$ est donc l'ensemble des polynômes de la forme $Q + A\mu_M$ avec $A \in \mathbb{C}[X]$. Par division euclidienne de $Q$ par $\mu_M$, il existe un unique couple $(A, R)$ tel que $Q = A\mu_M + R$ avec $\deg(R) < \deg(\mu_M)$. Ce reste $R$ appartient à $\mathcal{S}$ et c'est l'unique polynôme de degré minimal (puisqu'un polynôme de degré inférieur ne pourrait pas être dans $\mathcal{S}$ sans être égal à $R$ par unicité du reste).
   $$\boxed{P_M = R = Q \pmod{\mu_M}}$$
   Comme $\deg(\mu_M) \in \{1, 2\}$, le degré de $P_M$ est soit $0$ (si $\mu_M$ est de degré 1), soit $0$ ou $1$ (si $\mu_M$ est de degré 2).

3. Notons $\lambda$ et $\mu$ les valeurs propres de $M$ (éventuellement $\lambda = \mu$). Cas 1 : $M = \lambda I_2$. Alors $\mu_M = X - \lambda$. Le polynôme $P_M$ est de degré 0. La condition $P_M(M) = \exp(\lambda I_2) = e^\lambda I_2$ impose :
   $$\boxed{P_M(X) = e^\lambda}$$
   Cas 2 : $M \neq \lambda I_2$. Alors $\deg(\mu_M) = 2$ et $\deg(P_M) \le 1$. Posons $P_M(X) = aX + b$. Sous-cas 2.a : $\lambda \neq \mu$. $P_M$ doit vérifier $P_M(\lambda) = e^\lambda$ et $P_M(\mu) = e^\mu$. On résout :
   $$\begin{cases} a\lambda + b = e^\lambda$$
   a\mu + b = e^\mu \end{cases} \implies \boxed{a = \frac{e^\lambda - e^\mu}{\lambda - \mu},   b = \frac{\lambda e^\mu - \mu e^\lambda}{\lambda - \mu}}
   Sous-cas 2.b : $\lambda = \mu$ (matrice trigonalisable non diagonale). Le polynôme minimal est $\mu_M = (X-\lambda)^2$. $P_M$ est caractérisé par $P_M(\lambda) = e^\lambda$ et $P_M'(\lambda) = (e^X)'(\lambda) = e^\lambda$.
   $$\begin{cases} a\lambda + b = e^\lambda$$
   a = e^\lambda \end{cases} \implies \boxed{a = e^\lambda,   b = e^\lambda(1-\lambda)}

4. Étudions la continuité de $\Phi$. Notons $D$ l'ensemble des matrices non scalaires : $D = \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \setminus \mathbb{C} I_2$. Sur $D$, $\deg(P_M) = 1$ (ou $0$ si les coefficients s'annulent par coïncidence, mais la formule reste la même). Les coefficients $a$ et $b$ s'expriment comme des fonctions symétriques des valeurs propres. Comme les valeurs propres dépendent continûment de la matrice $M$, $\Phi$ est continue sur l'ouvert $D$. Examinons le comportement au voisinage d'une matrice scalaire $M_0 = \alpha I_2$. On a $P_{M_0}(X) = e^\alpha$. Soit $M_n = \begin{pmatrix} \alpha & 1/n$
   0 & \alpha \end{pmatrix}. On a $M_n \to M_0$. D'après le sous-cas 2.b, $P_{M_n}(X) = e^\alpha X + e^\alpha(1-\alpha)$. Quand $n \to +\infty$, la suite de polynômes $(P_{M_n})$ converge vers le polynôme $Q(X) = e^\alpha X + e^\alpha(1-\alpha)$. Or $Q \neq P_{M_0}$ car $\deg(Q) = 1$ (le coefficient devant $X$ est $e^\alpha \neq 0$).
   $$\boxed{\Phi \text{ est continue sur } \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \setminus \mathbb{C} I_2 \text{ et discontinue sur } \mathbb{C} I_2}$$