Commutativité et Liouville | WikiPrépa Maths

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On s'intéresse à l'application définie sur $\mathbb{C}$ par :

f : z \in \mathbb{C} \longmapsto e^{zA} B e^{-zA}

Montrer que si l'application $f$ est bornée sur $\mathbb{C}$ , alors les matrices $A$ et $B$ commutent.

1.

Exprimer chaque coefficient de la matrice $f(z)$ comme une série entière de la variable $z$ .

2.

Utiliser le théorème de Liouville pour les fonctions entières.

3.

Faire le lien entre la dérivée de $f$ en 0 et le commutateur $[A,B]$ .

Idées clés

•

Théorème de Liouville : toute fonction entière (développable en série entière de rayon infini) bornée sur $\mathbb{C}$ est constante.

•

Dérivée de l'application $t \mapsto e^{tA} B e^{-tA}$ .

Résolution.

Considérons pour tout couple d'indices $(i,j) \in \{1, \dots, n\}^2$ l'application $f_{i,j} : z \mapsto (e^{zA} B e^{-zA})_{i,j}$ . Cette application est obtenue par sommes et produits de fonctions entières (les coefficients de $e^{zA}$ et $e^{-zA}$ sont des sommes de séries entières de rayon de convergence infini).

Ainsi, chaque $f_{i,j}$ est une fonction entière sur $\mathbb{C}$ .

Par hypothèse, $f$ est bornée sur $\mathbb{C}$ , donc il existe $M > 0$ tel que pour tout $z \in \mathbb{C}$ , $\| f(z) \| \leq M$ . Ceci implique que chaque fonction coordonnée $f_{i,j}$ est une fonction entière bornée sur $\mathbb{C}$ .

D'après le théorème de Liouville, chacune de ces fonctions est constante. On en déduit que l'application matricielle $f$ est constante sur $\mathbb{C}$ :

\boxed{\forall z \in \mathbb{C},   e^{zA} B e^{-zA} = f(0) = B}

En particulier, l'application est constante sur $\mathbb{R}$ . Dérivons cette relation par rapport à la variable réelle $t$ : Pour tout $t \in \mathbb{R}$ , on a :

\frac{d}{dt} \left( e^{tA} B e^{-tA} \right) = A e^{tA} B e^{-tA} + e^{tA} B (-A e^{-tA})

En évaluant cette dérivée en $t=0$ , puisque la fonction est constante, sa dérivée est nulle :

A B - B A = 0

\boxed{AB = BA}

On a bien démontré que les matrices $A$ et $B$ commutent.

Attention, le théorème de Liouville ne s'applique que sur $\mathbb{C}$ . Une fonction réelle peut être dérivable et bornée sans être constante (par exemple $\sin$ ). L'hypothèse que $z$ parcourt $\mathbb{C}$ est donc cruciale ici.