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Résolution de systèmes récurrents linéaires

suite récurrentediagonalisationpuissance de matricePolynôme caractéristiqueVecteurs propres

On considère les suites réelles (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbb{N}}, (yn)n∈N(y_n)_{n \in \mathbb{N}} et (zn)n∈N(z_n)_{n \in \mathbb{N}} définies par leurs premiers termes x0,y0,z0x_0, y_0, z_0 et les relations de récurrence suivantes :

∀n∈N,{xn+1=2xn+3yn−3znyn+1=xn+6yn−5znzn+1=xn+7yn−6zn\forall n \in \mathbb{N},   \left\{ \begin{aligned} x_{n+1} &= 2 x_{n} + 3 y_{n} - 3 z_{n}
y_{n+1} &= x_{n} + 6 y_{n} - 5 z_{n}
z_{n+1} &= x_{n} + 7 y_{n} - 6 z_{n} \end{aligned} \right.

Déterminer l'expression de xn,ynx_n, y_n et znz_n en fonction de nn et des conditions initiales.

1.

Traduire le système sous la forme matricielle Xn+1=AXnX_{n+1} = A X_n où Xn=(xnynzn)X_n = \begin{pmatrix} x_n
y_n
z_n \end{pmatrix}.

2.

Étudier la réduction de la matrice AA (calcul du polynôme caractéristique, recherche des valeurs propres et des vecteurs propres).

3.

Utiliser la base de vecteurs propres pour exprimer XnX_n comme une combinaison linéaire des puissances des valeurs propres.

Idées clés

•

Modélisation matricielle d'un système dynamique linéaire.

•

Diagonalisation pour le calcul de la puissance d'une matrice.

•

Structure de l'espace des solutions d'une récurrence linéaire vectorielle.

1. Traduction matricielle du problème.

Posons Xn=(xnynzn)X_n = \begin{pmatrix} x_n
y_n
z_n \end{pmatrix}. Le système se réécrit sous la forme Xn+1=AXnX_{n+1} = A X_n avec :

A=(23−316−517−6)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -3
1 & 6 & -5
1 & 7 & -6 \end{pmatrix}

Par une récurrence immédiate, on établit que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :

Xn=AnX0\boxed{X_n = A^n X_0}

2. Recherche des éléments propres de AA.

Calculons le polynôme caractéristique χA(x)=det⁡(xI3−A)\chi_A(x) = \det(x I_3 - A) : \begin{align*} \chi_A(x) &= \begin{vmatrix} x-2 & -3 & 3
-1 & x-6 & 5
-1 & -7 & x+6 \end{vmatrix}
L_2 \leftarrow L_2 - L_3 \implies \chi_A(x) &= \begin{vmatrix} x-2 & -3 & 3
0 & x+1 & -(x+1)
-1 & -7 & x+6 \end{vmatrix}
C_2 \leftarrow C_2 + C_3 \implies \chi_A(x) &= \begin{vmatrix} x-2 & 0 & 3
0 & 0 & -(x+1)
-1 & x-1 & x+6 \end{vmatrix} \end{align*}

En développant par rapport à la deuxième ligne, on obtient :

χA(x)=(x+1)∣x−20−1x−1∣=(x+1)(x−1)(x−2)\chi_A(x) = (x+1) \begin{vmatrix} x-2 & 0
-1 & x-1 \end{vmatrix} = (x+1)(x-1)(x-2)

Le spectre de AA est donc Sp(A)={−1,1,2}\text{Sp}(A) = \{-1, 1, 2\}.

La matrice AA possède trois valeurs propres distinctes en dimension 3, elle est donc diagonalisable.

3. Détermination des sous-espaces propres.

  • Pour λ=1\lambda = 1 : X∈E1(A)  ⟺  (A−I3)X=0  ⟺  (13−315−517−7)(xyz)=0X \in E_1(A) \iff (A-I_3)X = 0 \iff \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3
    1 & 5 & -5
    1 & 7 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
    y
    z \end{pmatrix} = 0    . On trouve x=0x=0 et y=zy=z. Soit V1=(011)V_1 = \begin{pmatrix} 0
    1
    1 \end{pmatrix}    .

  • Pour λ=−1\lambda = -1 : X∈E−1(A)  ⟺  (A+I3)X=0  ⟺  (33−317−517−5)(xyz)=0X \in E_{-1}(A) \iff (A+I_3)X = 0 \iff \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3
    1 & 7 & -5
    1 & 7 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
    y
    z \end{pmatrix} = 0    . L1  ⟹  x+y−z=0L_1 \implies x+y-z=0. En substituant z=x+yz=x+y dans L2L_2, on a x+7y−5(x+y)=0  ⟹  −4x+2y=0  ⟹  y=2xx+7y-5(x+y)=0 \implies -4x+2y=0 \implies y=2x. On déduit z=3xz=3x. Soit V−1=(123)V_{-1} = \begin{pmatrix} 1
    2
    3 \end{pmatrix}    .

  • Pour λ=2\lambda = 2 : X∈E2(A)  ⟺  (A−2I3)X=0  ⟺  (03−314−517−8)(xyz)=0X \in E_2(A) \iff (A-2I_3)X = 0 \iff \begin{pmatrix} 0 & 3 & -3
    1 & 4 & -5
    1 & 7 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x
    y
    z \end{pmatrix} = 0    . L1  ⟹  y=zL_1 \implies y=z. L2  ⟹  x+4y−5y=0  ⟹  x=yL_2 \implies x+4y-5y=0 \implies x=y. Soit V2=(111)V_2 = \begin{pmatrix} 1
    1
    1 \end{pmatrix}    .

4. Expression du terme général.

Puisque (V1,V−1,V2)(V_1, V_{-1}, V_2) est une base de R3\mathbb{R}^3, il existe (α,β,γ)∈R3(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^3 tels que X0=αV1+βV−1+γV2X_0 = \alpha V_1 + \beta V_{-1} + \gamma V_2. Alors, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :

Xn=α1nV1+β(−1)nV−1+γ2nV2X_n = \alpha 1^n V_1 + \beta (-1)^n V_{-1} + \gamma 2^n V_2

Déterminons α,β,γ\alpha, \beta, \gamma en fonction de x0,y0,z0x_0, y_0, z_0 :

{β+γ=x0α+2β+γ=y0α+3β+γ=z0\left\{ \begin{aligned} \beta + \gamma &= x_0
\alpha + 2\beta + \gamma &= y_0
\alpha + 3\beta + \gamma &= z_0 \end{aligned} \right.

Par soustraction L3−L2L_3 - L_2, on trouve β=z0−y0\beta = z_0 - y_0. Ensuite, γ=x0−β=x0−z0+y0\gamma = x_0 - \beta = x_0 - z_0 + y_0. Enfin, α=y0−2β−γ=y0−2z0+2y0−x0+z0−y0=2y0−z0−x0\alpha = y_0 - 2\beta - \gamma = y_0 - 2z_0 + 2y_0 - x_0 + z_0 - y_0 = 2y_0 - z_0 - x_0.

En remplaçant dans l'expression de XnX_n, on obtient :

xn=(z0−y0)(−1)n+(x0+y0−z0)2nyn=(2y0−z0−x0)+2(z0−y0)(−1)n+(x0+y0−z0)2nzn=(2y0−z0−x0)+3(z0−y0)(−1)n+(x0+y0−z0)2n\boxed{ \begin{aligned} x_n &= (z_0 - y_0)(-1)^n + (x_0 + y_0 - z_0) 2^n
y_n &= (2y_0 - z_0 - x_0) + 2(z_0 - y_0)(-1)^n + (x_0 + y_0 - z_0) 2^n
z_n &= (2y_0 - z_0 - x_0) + 3(z_0 - y_0)(-1)^n + (x_0 + y_0 - z_0) 2^n \end{aligned} }

Ne pas oublier que les coefficients α,β,γ\alpha, \beta, \gamma dépendent des conditions initiales. Une erreur classique est de calculer AnA^n sans expliciter ces coefficients en fonction de x0,y0,z0x_0, y_0, z_0.