Comportement asymptotique d'une suite de points

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère une suite de points $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de coordonnées $(x_n, y_n)$ définie par un point initial $M_0 = (x_0, y_0)$ et la relation de récurrence suivante :

\begin{cases} x_{n+1} = -x_n + 2y_n y_{n+1} = -3x_n + 4y_n \end{cases}

Justifier que pour tout point initial $M_0$ , l'ensemble des points $\{M_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est contenu dans une droite dont on déterminera l'équation.
Déterminer la limite de la suite $(M_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ , en discutant selon la position de $M_0$ .
En supposant que la suite $(M_n)$ ne reste pas constante, déterminer la limite du rapport $\frac{y_n}{x_n}$ quand $n \to +\infty$ . Proposer une interprétation géométrique de ce résultat en lien avec les directions propres d'une matrice associée au système.

1.

Introduire la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 -3 & 4 \end{pmatrix}$ telle que $X_{n+1} = AX_n$ avec $X_n = \begin{pmatrix} x_n y_n \end{pmatrix}$ .

2.

Diagonaliser la matrice $A$ pour exprimer $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$ .

3.

Pour la question 1, chercher une combinaison linéaire $L(x_n, y_n)$ qui reste constante au cours du temps ou qui permet d'éliminer la dépendance en la puissance de la valeur propre dominante.

4.

Pour la question 3, identifier la direction vers laquelle s'aligne le vecteur $X_n$ lorsque la composante portée par la valeur propre de plus grand module devient prépondérante.

Idées clés

•

Traduction matricielle du système récurrent : $X_n = A^n X_0$ .

•

Réduction de la matrice (recherche des valeurs propres et vecteurs propres).

•

Décomposition du vecteur initial dans une base de vecteurs propres pour obtenir la forme explicite.

1. Étude de l'alignement des points.

Considérons la matrice $A$ associée au système :

A = \begin{pmatrix} -1 & 2 -3 & 4 \end{pmatrix}

Calculons son polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ : \begin{align*} \chi_A(X) &= \det(XI - A) = \begin{vmatrix} X+1 & -2
3 & X-4 \end{vmatrix}
&= (X+1)(X-4) + 6 = X^2 - 3X + 2 \end{align*}

Les racines de ce polynôme sont les valeurs propres de $A$ :

\boxed{ \text{Sp}(A) = \{1, 2\} }

Cherchons les sous-espaces propres associés :

Pour $\lambda = 1$ : $AX = X \iff -x + 2y = x \iff y = x$ . On pose $E_1 = \text{Vect}(u_1)$ avec $u_1 = \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}$ .
Pour $\lambda = 2$ : $AX = 2X \iff -x + 2y = 2x \iff 3x = 2y$ . On pose $E_2 = \text{Vect}(u_2)$ avec $u_2 = \begin{pmatrix} 2 3 \end{pmatrix}$ .

On peut décomposer $X_0$ dans la base $(u_1, u_2)$ : $X_0 = \alpha u_1 + \beta u_2$ . Par récurrence, on a $X_n = A^n X_0$ , soit :

X_n = \alpha \cdot 1^n u_1 + \beta \cdot 2^n u_2 = \alpha \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix} + \beta 2^n \begin{pmatrix} 2 3 \end{pmatrix}

On en déduit les coordonnées :

\begin{cases} x_n = \alpha + 2\beta \cdot 2^n y_n = \alpha + 3\beta \cdot 2^n \end{cases}

Pour montrer l'alignement, on cherche une relation affine entre $x_n$ et $y_n$ indépendante de $n$ . On remarque que : \begin{align*} y_n - \frac{3}{2}x_n &= (\alpha + 3\beta 2^n) - \frac{3}{2}(\alpha + 2\beta 2^n)
&= \alpha - \frac{3}{2}\alpha = -\frac{1}{2}\alpha \end{align*}

La valeur $-\frac{1}{2}\alpha$ est constante pour un $M_0$ fixé. Ainsi, les points $M_n$ appartiennent à la droite d'équation :

\boxed{ y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\alpha }

2. Limite de la suite $(M_n)$ .

La limite dépend du coefficient $\beta$ dans la décomposition de $X_0$ :

Cas 1 : $\beta = 0$ . Cela correspond au cas où $X_0 \in E_1$ , c'est-à-dire $y_0 = x_0$ . Alors $x_n = \alpha = x_0$ et $y_n = \alpha = y_0$ . La suite est constante. $\boxed{ M_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} M_0 }$
Cas 2 : $\beta \neq 0$ . Cela correspond au cas où $M_0$ n'est pas sur la droite $y=x$ . Comme $2^n \to +\infty$ , les coordonnées $x_n$ et $y_n$ divergent. $\boxed{ \|M_n\| \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty }$

3. Limite du rapport et interprétation.

Supposons $\beta \neq 0$ (sinon le rapport est constant égal à $1$ ). Calculons la limite du rapport :

\frac{y_n}{x_n} = \frac{\alpha + 3\beta 2^n}{\alpha + 2\beta 2^n} = \frac{\frac{\alpha}{2^n} + 3\beta}{\frac{\alpha}{2^n} + 2\beta}

En passant à la limite quand $n \to +\infty$ , on obtient :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \frac{y_n}{x_n} = \frac{3}{2} }

Interprétation géométrique : Lorsque $n$ devient grand, le terme en $2^n$ (associé à la valeur propre dominante $\lambda = 2$ ) devient prépondérant devant le terme constant associé à $\lambda = 1$ .

Le vecteur $X_n$ tend donc à devenir colinéaire au vecteur propre $u_2 = \begin{pmatrix} 2 3 \end{pmatrix}$ . La pente de la droite vectorielle $E_2$ est précisément $\frac{3}{2}$ , ce qui explique la limite du rapport des coordonnées.

Attention à ne pas oublier le cas où $M_0$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $1$ . Dans ce cas, la suite est stationnaire et le rapport ne tend pas vers $3/2$ mais reste égal à $1$ .