Système de suites récurrentes couplées

On considère trois suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par leurs premiers termes $u_0, v_0, w_0$ et les relations de récurrence suivantes pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\left\{ \begin{aligned} u_{n+1} &= u_n + v_n v_{n+1} &= u_n + w_n w_{n+1} &= v_n + w_n \end{aligned} \right.

Déterminer l'expression explicite de $u_n, v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ et des conditions initiales.

1.

Introduire le vecteur colonne $X_n = \begin{pmatrix} u_n v_n w_n \end{pmatrix}$ et traduire le système sous la forme $X_{n+1} = AX_n$ .

2.

Étudier les propriétés de la matrice $A$ (symétrie, spectre) pour justifier sa diagonalisabilité.

3.

Calculer $A^n$ en utilisant une matrice de passage, puis en déduire les composantes de $X_n$ .

Idées clés

•

Traduction matricielle d'un système dynamique linéaire.

•

Diagonalisation d'une matrice symétrique réelle.

•

Calcul de la puissance $n$ -ième via la formule $A^n = P D^n P^{-1}$ .

1. Mise sous forme matricielle.

Soit $X_n = \begin{pmatrix} u_n v_n w_n \end{pmatrix}$ . Le système se réécrit $X_{n+1} = A X_n$ avec :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Par une récurrence immédiate, on établit que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

\boxed{X_n = A^n X_0}

2. Réduction de la matrice $A$ .

La matrice $A$ est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral). Calculons son polynôme caractéristique $\chi_A(x) = \det(x I_3 - A)$ :

\chi_A(x) = \begin{vmatrix} x-1 & -1 & 0 -1 & x & -1 0 & -1 & x-1 \end{vmatrix}

En développant par rapport à la première ligne :

\chi_A(x) = (x-1) [x(x-1) - 1] - (-1) [-(x-1) - 0]

\chi_A(x) = (x-1)(x^2 - x - 1) - (x-1) = (x-1)(x^2 - x - 2)

Les racines de $x^2 - x - 2$ sont $2$ et $-1$ . Le spectre de $A$ est donc :

\boxed{\text{Sp}(A) = \{ -1, 1, 2 \}}

Les valeurs propres sont simples, ce qui confirme la diagonalisabilité.

3. Recherche des sous-espaces propres.

Pour $\lambda = 1$ : On résout $(A-I)V=0$ . $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix} \iff \left\{ \begin{aligned} y &= 0 x+z &= 0 \end{aligned} \right.$ On choisit $E_1 = \text{Vect}(V_1)$ avec $V_1 = \begin{pmatrix} 1 0 -1 \end{pmatrix}$ .
Pour $\lambda = 2$ : On résout $(A-2I)V=0$ . $\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 1 & -2 & 1 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix} \iff \left\{ \begin{aligned} x &= y y &= z \end{aligned} \right.$ On choisit $E_2 = \text{Vect}(V_2)$ avec $V_2 = \begin{pmatrix} 1 1 1 \end{pmatrix}$ .
Pour $\lambda = -1$ : On résout $(A+I)V=0$ . $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 0 \end{pmatrix} \iff \left\{ \begin{aligned} y &= -2x z &= x \end{aligned} \right.$ On choisit $E_{-1} = \text{Vect}(V_3)$ avec $V_3 = \begin{pmatrix} 1 -2 1 \end{pmatrix}$ .

4. Calcul de $A^n$ .

Soit $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ la matrice de passage. On a $A = P D P^{-1}$ avec $D = \text{diag}(1, 2, -1)$ . Un calcul de déterminant donne $\det(P) = 6$ . L'inversion (par pivot de Gauss ou comatrice) donne :

P^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 2 & 2 & 2 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Le vecteur $X_n$ est donné par $X_n = P D^n P^{-1} X_0$ . Posons $P^{-1} X_0 = \begin{pmatrix} \alpha \beta \gamma \end{pmatrix}$ . On a :

\alpha = \frac{u_0 - w_0}{2},   \beta = \frac{u_0 + v_0 + w_0}{3},   \gamma = \frac{u_0 - 2v_0 + w_0}{6}

On en déduit $X_n = P \begin{pmatrix} \alpha \cdot 1^n \beta \cdot 2^n \gamma \cdot (-1)^n \end{pmatrix}$ , soit :

\left\{ \begin{aligned} u_n &= \alpha + \beta 2^n + \gamma (-1)^n v_n &= \beta 2^n - 2\gamma (-1)^n w_n &= -\alpha + \beta 2^n + \gamma (-1)^n \end{aligned} \right.

5. Conclusion.

En remplaçant par les valeurs initiales :

\boxed{u_n = \frac{u_0 - w_0}{2} + \frac{u_0 + v_0 + w_0}{3} 2^n + \frac{u_0 - 2v_0 + w_0}{6} (-1)^n}

\boxed{v_n = \frac{u_0 + v_0 + w_0}{3} 2^n - \frac{u_0 - 2v_0 + w_0}{3} (-1)^n}

\boxed{w_n = \frac{w_0 - u_0}{2} + \frac{u_0 + v_0 + w_0}{3} 2^n + \frac{u_0 - 2v_0 + w_0}{6} (-1)^n}

Une erreur fréquente est d'oublier de vérifier la diagonalisabilité avant d'utiliser la formule $P D^n P^{-1}$ . Ici, la symétrie de $A$ offre une justification immédiate et élégante.