Localisation des racines et moyenne glissante

Résolution.

1. 1. Soit $z \in \mathbb{C}$ une racine de $P$. On a l'égalité :
      $$(n+1)z^{n+1} = \sum_{j=0}^n z^j$$

      Supposons $|z| > 1$. Par l'inégalité triangulaire :

      $$(n+1)|z|^{n+1} \le \sum_{j=0}^n |z|^j$$

      Or, comme $|z| > 1$, pour tout $j \in \{0, \dots, n\}$, on a $|z|^j \le |z|^n$. Ainsi :

      $$(n+1)|z|^{n+1} \le (n+1)|z|^n$$

      En divisant par $(n+1)|z|^n > 0$, on obtient $|z| \le 1$, ce qui contredit l'hypothèse. \medskip Par conséquent, toutes les racines de $P$ sont dans le disque unité fermé :

      $$\boxed{\forall z \in \mathbb{C}, P(z) = 0 \implies |z| \le 1}$$

   2. Soit $z$ une racine de module 1. L'inégalité triangulaire utilisée précédemment devient une égalité :
      $$(n+1) = |(n+1)z^{n+1}| = \left| \sum_{j=0}^n z^j \right| = \sum_{j=0}^n |z|^j = n+1$$

      Le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour des nombres complexes non nuls impose que tous les termes $z^j$ soient colinéaires et de même sens. Comme $z^0 = 1$, tous les $z^j$ doivent être des réels strictement positifs. Étant de module 1, on a nécessairement $z^j = 1$ pour tout $j$, d'où $z=1$. Réciproquement, $P(1) = (n+1) - (n+1) = 0$. L'unique racine de module 1 est donc :

      $$\boxed{z = 1}$$

   3. Pour $X \neq 1$, on peut écrire $P(X) = (n+1)X^{n+1} - \frac{X^{n+1}-1}{X-1}$. Posons $Q(X) = (X-1)P(X) = (n+1)X^{n+2} - (n+2)X^{n+1} + 1$. Une racine multiple de $P$ est racine de $P$ et de $P'$, donc racine de $Q$ et de $Q'$. Calculons la dérivée de $Q$ :
      $$Q'(X) = (n+1)(n+2)X^{n+1} - (n+1)(n+2)X^n = (n+1)(n+2)X^n(X-1)$$

      Les racines de $Q'$ sont $0$ (de multiplicité $n$) et $1$ (simple). Or $Q(0) = 1 \neq 0$, donc $0$ n'est pas racine de $Q$. Concernant $1$, on a $Q(1) = (n+1) - (n+2) + 1 = 0$ et $Q'(1) = 0$. Calculons $Q''(1)$ :

      $$Q''(X) = (n+1)(n+2) \left[ (n+1)X^n - nX^{n-1} \right]$$
      $Q''(1) = (n+1)(n+2) \neq 0$, donc $1$ est racine double de $Q$. Puisque $Q(X) = (X-1)P(X)$, la racine double $1$ de $Q$ correspond à une racine simple de $P$. Toute autre racine $z$ de $P$ est racine de $Q$ mais n'est pas racine de $Q'$. \boxed{\text{Toutes les racines de } P \text{ sont donc simples.}}

2. La suite $(u_p)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre $n+1$ dont l'équation caractéristique est $P(X)=0$ (en multipliant par $n+1$). Notons $z_1, z_2, \dots, z_{n+1}$ les racines de $P$, avec $z_1 = 1$. D'après la question 1, les racines sont simples et $|z_j| < 1$ pour $j \ge 2$. Il existe des complexes $\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}$ tels que pour tout $p \in \mathbb{N}$ :
   $$u_p = \lambda_1 (1)^p + \sum_{j=2}^{n+1} \lambda_j z_j^p$$
   Comme $|z_j| < 1$ pour $j \in \{2, \dots, n+1\}$, on a $\lim_{p \to \infty} z_j^p = 0$. La suite converge donc vers :
   $$\boxed{\lim_{p \to \infty} u_p = \lambda_1}$$
   Pour déterminer $\lambda_1$, cherchons un invariant de la forme $I_p = \sum_{k=0}^n \alpha_k u_{p+k}$. On veut $I_{p+1} = I_p$, soit $\sum_{k=0}^n \alpha_k u_{p+k+1} = \sum_{k=0}^n \alpha_k u_{p+k}$. En remplaçant $u_{p+n+1}$ par sa définition :
   $$\alpha_n \left( \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n u_{p+j} \right) + \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_k u_{p+k+1} = \sum_{j=0}^n \alpha_j u_{p+j}$$
   En identifiant les coefficients de $u_{p+j}$ : - Pour $j=0$ : $\frac{\alpha_n}{n+1} = \alpha_0$. - Pour $j \in \{1, \dots, n\}$ : $\frac{\alpha_n}{n+1} + \alpha_{j-1} = \alpha_j$. On en déduit que $(\alpha_j)$ est une suite arithmétique de raison $\alpha_0$. Ainsi $\alpha_j = (j+1)\alpha_0$. Pour $\alpha_0 = 1$, on a $\alpha_j = j+1$. La quantité $I_p = \sum_{j=0}^n (j+1) u_{p+j}$ est constante. À la limite, si $u_p \to L$, alors $I_p \to L \sum_{j=0}^n (j+1) = L \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. Par conservation de l'invariant $I_p = I_0$ :
   $$L \frac{(n+1)(n+2)}{2} = \sum_{j=0}^n (j+1) u_j$$
   On conclut :
   $$\boxed{ \lim_{p \to \infty} u_p = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \sum_{j=0}^{n} (j+1) u_{j} }$$