Existence de racines carrées dans GLn(C)

L'objectif de cet exercice est de démontrer que toute matrice inversible à coefficients complexes admet au moins une racine carrée dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . Montrer qu'il existe un polynôme $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P_n(0) = 0$ et tel que $X^n$ divise le polynôme $(1+P_n(X))^2 - (1+X)$ .
Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $N \in M_{n} (C)$ une matrice nilpotente.
1. Déduire de la question précédente l'existence d'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $A^2 = I_n + N$ .
2. Soit $\lambda \in \mathbb{C}^*$ . Montrer que l'équation $X^2 = \lambda I_n + N$ possède au moins une solution dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . En utilisant la décomposition de l'espace en sous-espaces caractéristiques, établir que $M$ admet une racine carrée.

1.

Pour la question 1, on pourra utiliser le développement en série entière de la fonction $x \mapsto \sqrt{1+x}$ au voisinage de 0, ou procéder par identification.

2.

Pour la question 2(b), factoriser par $\lambda I_n$ et utiliser la stabilité par produit de matrices.

3.

Pour la question 3, se ramener à l'étude sur chaque sous-espace caractéristique où la matrice se décompose sous la forme $\lambda I + N$ .

Idées clés

•

Développement de Taylor de la fonction racine carrée.

•

Utilisation de la nilpotence pour tronquer les séries.

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Réduction par blocs via les sous-espaces caractéristiques (Lemme des noyaux).

Résolution.

Considérons la fonction $f : x \mapsto \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$ . Elle est de classe $\mathcal{C}^\infty$ au voisinage de $0$ . D'après la formule de Taylor-Young à l'ordre $n-1$ , il existe un polynôme $Q_n$ de degré $n-1$ tel que : $f(x) = Q_n(x) + o(x^{n-1})$ Posons $Q_n(X) = 1 + P_n(X)$ où $P_n(0) = 0$ (car $f(0)=1$ ). En élevant au carré, on obtient : $(1+P_n(x))^2 = f(x)^2 + o(x^{n-1}) = 1+x + o(x^{n-1})$ Ceci montre que le polynôme $(1+P_n(X))^2 - (1+X)$ n'a pas de termes de degré inférieur à $n$ . Par conséquent : $\boxed{X^n \text{ divise } (1+P_n(X))^2 - (1+X)}$
1. Soit $N$ une matrice nilpotente. On sait que $N^n = 0$ . D'après la question 1, il existe un polynôme $R \in \mathbb{C}[X]$ tel que : $(1+P_n(X))^2 = 1+X + X^n R(X)$ En évaluant en la matrice $N$ , comme $N^n = 0_{n}$ , on obtient : $(I_n + P_n(N))^2 = I_n + N + N^n R(N) = I_n + N$ Il suffit donc de poser $A = I_n + P_n(N)$ pour avoir $A^2 = I_n + N$ . $\boxed{A = I_n + P_n(N) \text{ est une racine carrée de } I_n + N}$
2. Soit $\lambda \in \mathbb{C}^*$ . On peut écrire : $\lambda I_n + N = \lambda \left( I_n + \frac{1}{\lambda} N \right)$ Comme $\mathbb{C}$ est algébriquement clos, il existe $\mu \in \mathbb{C}$ tel que $\mu^2 = \lambda$ . Comme $N$ est nilpotente, $N' = \frac{1}{\lambda} N$ est également nilpotente. D'après la question 2(a), il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $B^2 = I_n + N'$ . Alors, en posant $X = \mu B$ , on a : $X^2 = \mu^2 B^2 = \lambda (I_n + N') = \lambda I_n + N$ $\boxed{\text{L'existence est ainsi prouvée par construction.}}$
Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . Son polynôme caractéristique $\chi_M$ est scindé sur $\mathbb{C}$ : $\chi_M = \prod_{i=1}^k (X-\lambda_i)^{m_i}$ Comme $M$ est inversible, $0$ n'est pas valeur propre, donc $\forall i, \lambda_i \neq 0$ . D'après le lemme des noyaux, on a la décomposition en sous-espaces caractéristiques : $\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^k \ker(M - \lambda_i I)^{m_i}$ Chaque sous-espace $E_i = \ker(M - \lambda_i I)^{m_i}$ est stable par $M$ . Notons $M_i$ l'endomorphisme induit par $M$ sur $E_i$ . Par définition, $M_i - \lambda_i \mathrm{id}_{E_i}$ est nilpotent. On peut donc écrire : $M_i = \lambda_i \mathrm{id}_{E_i} + N_i \text{avec } N_i \text{ nilpotent.}$ D'après la question 2(b), chaque $M_i$ admet une racine carrée $A_i \in \mathcal{L}(E_i)$ . Considérons alors l'endomorphisme $A$ défini sur chaque $E_i$ par $A_{|E_i} = A_i$ . Par construction : $A^2_{|E_i} = A_i^2 = M_i = M_{|E_i}$ Comme ceci est vrai sur chaque sous-espace de la somme directe, on a $A^2 = M$ . $\boxed{M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \text{ admet donc au moins une racine carrée.}}$

Attention à ne pas oublier l'hypothèse d'inversibilité. Une matrice non inversible peut ne pas avoir de racine carrée (par exemple $\begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ ).