Racines carrées de matrices diagonalisables

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On s'intéresse à l'équation $X^2 = A$ d'inconnue $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Étude théorique. On suppose que $A$ $A$ possède $n$ $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ , toutes non nulles.
1. Montrer que si $X$ est une solution, alors $X$ commute avec $A$ .
2. En déduire que toute solution $X$ est diagonalisable dans la même base que $A$ .
3. Déterminer le nombre exact de solutions de l'équation dans ce cas.
Applications pratiques. Déterminer toutes les solutions $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ $X \in M_{3} (C)$ de l'équation $X^2 = M$ $X^{2} = M$ pour les matrices suivantes :
1. $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$
2. $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
3. $M = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 5 5 & 4 & 5 -5 & -5 & -6 \end{pmatrix}$

1.

Pour la question 1.(a), remarquer que $X$ commute avec son carré. Pour la 1.(b), utiliser le fait que si deux matrices commutent, les sous-espaces propres de l'une sont stables par l'autre.

2.

Pour la question 2.(b), calculer le polynôme caractéristique de $M$ et vérifier qu'il est à racines simples.

3.

Pour la question 2.(c), déterminer les valeurs propres de $M$ (attention, l'une d'elles est multiple). Analyser le commutant de $M$ .

Idées clés

•

Lien entre commutant et sous-espaces propres.

•

Diagonalisation simultanée.

•

Cas des valeurs propres multiples : stabilité des sous-espaces propres de dimension $> 1$ .

Résolution.

Étude théorique.
1. Soit $X$ une solution. On a $X^2 = A$ . Alors $X A = X \cdot X^2 = X^3$ et $A X = X^2 \cdot X = X^3$ . Ainsi : $\boxed{XA = AX}$
2. Puisque $X$ commute avec $A$ , $X$ laisse stables les sous-espaces propres de $A$ . Or, $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes, donc ses sous-espaces propres $E_{\lambda_i}(A)$ sont des droites vectorielles. Soit $v_i$ un vecteur propre associé à $\lambda_i$ . On a $X(v_i) \in E_{\lambda_i}(A) = \text{Vect}(v_i)$ . Il existe donc $\mu_i \in \mathbb{C}$ tel que $X(v_i) = \mu_i v_i$ . Ainsi, $v_i$ est aussi un vecteur propre de $X$ . La base de vecteurs propres de $A$ diagonalise donc également $X$ .
3. Dans cette base commune, l'équation $X^2 = A$ devient $\text{diag}(\mu_1^2, \dots, \mu_n^2) = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ . Cela équivaut au système $\mu_i^2 = \lambda_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ . Chaque équation $\mu_i^2 = \lambda_i$ possède exactement deux solutions distinctes car $\lambda_i \neq 0$ . Par combinatoire, il y a : $\boxed{2^n \text{ solutions}}$
Applications pratiques.
1. Pour $M = \text{diag}(1, 4, 9)$ , les valeurs propres $\{1, 4, 9\}$ sont distinctes et non nulles. D'après l'étude précédente, $X$ doit être diagonale. Les solutions sont les matrices $\text{diag}(\pm 1, \pm 2, \pm 3)$ . Il y en a 8 : $\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \begin{pmatrix} \varepsilon_1 & 0 & 0 0 & 2\varepsilon_2 & 0 0 & 0 & 3\varepsilon_3 \end{pmatrix}, (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) \in \{-1, 1\}^3 \right\}}$
2. Calculons le polynôme caractéristique de $M$ . On trouve : $\chi_M(X) = -(X-2)(X^2-4X+1) = -(X-2)(X-(2+\sqrt{3}))(X-(2-\sqrt{3}))$ . Les valeurs propres sont $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 2+\sqrt{3}$ , $\lambda_3 = 2-\sqrt{3}$ . Elles sont distinctes et non nulles. Il y a donc $2^3 = 8$ solutions. Elles sont de la forme $P \text{diag}(\pm\sqrt{\lambda_1}, \pm\sqrt{\lambda_2}, \pm\sqrt{\lambda_3}) P^{-1}$ , où $P$ est la matrice de passage vers une base de vecteurs propres de $M$ .
3. Pour $M = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 5 5 & 4 & 5 -5 & -5 & -6 \end{pmatrix}$ , on trouve $\chi_M(X) = -(X-4)(X+1)^2$ . On vérifie que $M+I$ est de rang 1, donc $\dim E_{-1}(M) = 2$ . $M$ est donc diagonalisable. Soit $X$ une solution. $X$ commute avec $M$ , donc $X$ stabilise $E_4(M)$ (droite) et $E_{-1}(M)$ (plan). Sur $E_4(M)$ , $X$ agit comme une homothétie de rapport $\pm 2$ . Sur $E_{-1}(M)$ , l'endomorphisme induit par $X$ , noté $Y$ , doit vérifier $Y^2 = -I_2$ . Il existe une infinité de telles matrices (par exemple toute matrice de la forme $Q \begin{pmatrix} i & 0 0 & -i \end{pmatrix} Q^{-1}$ ). $\boxed{\text{Il y a une infinité de solutions.}}$

Ne pas oublier que si une valeur propre est multiple, la solution $X$ n'est pas nécessairement un polynôme en $A$ , et peut ne pas être diagonale dans la même base si on ne traite pas correctement le bloc associé.