Équations matricielles du type $A^2=M$

Résolution.

1. Cas de $M_1$ : Les valeurs propres de $M_1$ sont 1, 4 et 9. Elles sont distinctes. Une matrice $A$ qui commute avec une matrice diagonale à valeurs propres distinctes est nécessairement diagonale. Soit $A = \text{diag}(a, b, c)$. La condition $A^2 = M_1$ devient :
   $$\begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0$$
   0 & b^2 & 0
   0 & 0 & c^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
   0 & 4 & 0
   0 & 0 & 9 \end{pmatrix}
   On en déduit $a \in \{-1, 1\}$, $b \in \{-2, 2\}$ et $c \in \{-3, 3\}$. Il y a $2 \times 2 \times 2 = 8$ solutions dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ :
   $$\boxed{ A \in \{ \text{diag}(\epsilon_1, 2\epsilon_2, 3\epsilon_3) \mid (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3) \in \{-1, 1\}^3 \} }$$

2. Cas de $M_2$ : $M_2$ est une matrice diagonale par blocs. Soit $A = \begin{pmatrix} a & L$
   C & B \end{pmatrix} avec $B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. Comme $A$ commute avec $M_2$, $A$ laisse stables les sous-espaces propres et caractéristiques de $M_2$. Ici, $E_1(M_2) = \text{Vect}(e_1)$ et $N_5(M_2) = \text{Vect}(e_2, e_3)$. Ainsi, $A$ est de la forme $\begin{pmatrix} a & 0$
   0 & B \end{pmatrix} avec $a^2 = 1$ (soit $a = \pm 1$) et $B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4$
   0 & 5 \end{pmatrix}. $B$ doit commuter avec $\begin{pmatrix} 5 & 4$
   0 & 5 \end{pmatrix}, donc avec $\begin{pmatrix} 0 & 1$
   0 & 0 \end{pmatrix}. Un calcul simple montre que $B$ est de la forme $\begin{pmatrix} x & y$
   0 & x \end{pmatrix}. En calculant $B^2$, on obtient $\begin{pmatrix} x^2 & 2xy$
   0 & x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4
   0 & 5 \end{pmatrix}. On trouve $x^2 = 5$ et $2xy = 4$, soit $y = 2/x$.
   $$\boxed{ A = \begin{pmatrix} \epsilon_1 & 0 & 0$$
   0 & \epsilon_2 \sqrt{5} & 2\epsilon_2/\sqrt{5}
   0 & 0 & \epsilon_2 \sqrt{5} \end{pmatrix},   \epsilon_1, \epsilon_2 \in \{-1, 1\} }

3. Cas de $M_3$ : Le polynôme caractéristique est $\chi_{M_3}(X) = (X-1)^2(X-4)$. $E_4(M_3) = \ker(M_3 - 4I) = \text{Vect}(0, 0, 1)$. $E_1(M_3) = \ker(M_3 - I) = \text{Vect}(0, 3, -1)$. La dimension de $E_1$ est 1, donc $M_3$ n'est pas diagonalisable. Si $A^2 = M_3$, alors $A$ commute avec $M_3$, donc $A$ laisse stable $E_4$ et le sous-espace caractéristique $N_1 = \ker(M_3 - I)^2$. Un calcul montre que $N_1 = \text{Vect}(e_2, 3e_1 - e_3)$. En posant $A$ dans une base adaptée, on aboutit par un raisonnement analogue au cas précédent (en utilisant la structure triangulaire supérieure de la réduite de $M_3$) qu'il n'y a de solutions que si l'on peut trouver une racine carrée du bloc de Jordan associé à la valeur propre 1. Par identification, on obtient 4 solutions.
4. Cas de $M_4$ : $M_4$ est une matrice nilpotente. Calculons ses puissances : $M_4^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4$
   0 & 0 & 0
   0 & 0 & 0 \end{pmatrix} et $M_4^3 = 0$. L'indice de nilpotence de $M_4$ est $k=3$. Si $A^2 = M_4$, alors $A$ est également nilpotente. Soit $p$ son indice de nilpotence. Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{K})$, on sait que $p \le 3$. Alors $A^2 = M_4$, $A^4 = M_4^2 \neq 0$, et $A^6 = M_4^3 = 0$. Or, si $A^3 = 0$, alors $A^4 = 0$, ce qui contredit $A^4 \neq 0$.
   $$\boxed{ \text{L'équation } A^2 = M_4 \text{ n'admet aucune solution.} }$$

5. Cas de $M_5$ : On cherche les valeurs propres de $M_5$. On remarque que $M_5 + I = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5$
   5 & 5 & 5
   -5 & -5 & -5 \end{pmatrix} est de rang 1. Ainsi, $-1$ est valeur propre de multiplicité $3-1 = 2$. La trace vaut $\text{Tr}(M_5) = 4 + 4 - 6 = 2$. Soit $\lambda$ la troisième valeur propre : $2(-1) + \lambda = 2 \implies \lambda = 4$. $M_5$ est diagonalisable car $\dim E_{-1} = 2$. Il existe $P \in GL_3(\mathbb{K})$ telle que $M_5 = P \text{diag}(-1, -1, 4) P^{-1}$. L'équation $A^2 = M_5$ est équivalente à $(P^{-1}AP)^2 = \text{diag}(-1, -1, 4)$. Si $\mathbb{K$ = \mathbb{R} :} Soit $D' = P^{-1}AP$. $D'$ doit avoir des valeurs propres dont le carré appartient à $\{-1, 4\}$. Or, les valeurs propres de $D'$ sont les racines de son polynôme caractéristique de degré 3. Il existe au moins une valeur propre réelle $\mu$. Alors $\mu^2 \in \{-1, 4\}$. Comme $\mu \in \mathbb{R}$, on a forcément $\mu^2 = 4$, donc $\mu = \pm 2$. Les deux autres valeurs propres $\mu_2, \mu_3$ doivent vérifier $\mu_2^2 = -1$ et $\mu_3^2 = -1$, donc $\mu_2, \mu_3 = \pm i$. Comme $A$ est réelle, ses valeurs propres non réelles sont conjuguées, donc $\{\mu_2, \mu_3\} = \{i, -i\}$. Une telle matrice $A$ existe. Par exemple, si $D' = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0$
   0 & 0 & -1
   0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, alors $(D')^2 = \text{diag}(4, -1, -1)$.
   $$\boxed{ \text{L'équation admet une infinité de solutions sur } \mathbb{R} \text{ (car le choix de } P \text{ n'est pas unique).} }$$