Étude de l'équation matricielle M^2 = -I

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse aux matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant l'équation $A^2 = -I_n$ .

Montrer que si une telle matrice existe, alors $n$ est nécessairement pair.
Dans cette question, on suppose $n=2$ $n = 2$ . Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ $A \in M_{2} (R)$ telle que $A^2 = -I_2$ $A^{2} = - I_{2}$ .
1. Soit $u$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^2$ . Montrer que la famille $(u, Au)$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .
2. En déduire que $A$ est semblable à la matrice $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
On revient au cas général où $n$ est un entier pair. Montrer que $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie $A^2 = -I_n$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme : $\text{diag}(J, J, \dots, J) = \begin{pmatrix} J & & (0) & \ddots & (0) & & J \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ où chaque bloc $J$ est défini par $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

1.

Pour la parité de $n$ , utiliser le déterminant ou les valeurs propres de $A$ dans $\mathbb{C}$ .

2.

Pour la liberté de $(u, Au)$ , raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'une valeur propre réelle.

3.

Pour la question générale, on peut munir $\mathbb{R}^n$ d'une structure de $\mathbb{C}$ -espace vectoriel en posant $(a+ib) \cdot x = ax + b A(x)$ .

Idées clés

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Polynôme annulateur : $P(X) = X^2 + 1$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , mais sans racine réelle.

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Lien entre dimension réelle et dimension complexe d'un espace.

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Construction de base par blocs stables de dimension 2.

Résolution.

Supposons qu'il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = -I_n$ . En appliquant le déterminant, nous obtenons : $\det(A^2) = \det(-I_n) \implies \det(A)^2 = (-1)^n$ Or, $A$ est une matrice à coefficients réels, donc $\det(A) \in \mathbb{R}$ , ce qui impose $\det(A)^2 \geq 0$ . On en déduit que $(-1)^n \geq 0$ , ce qui implique que : $\boxed{n \text{ est pair.}}$
Cas $n=2$ $n = 2$ :
1. Soit $u \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ . Supposons la famille $(u, Au)$ liée. Alors il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $Au = \lambda u$ (car $u \neq 0$ ). En appliquant $A$ , on aurait $A^2 u = \lambda Au = \lambda^2 u$ . Comme $A^2 = -I_2$ , on obtient $-u = \lambda^2 u$ , d'où $\lambda^2 = -1$ . Ceci est impossible pour un réel $\lambda$ . La famille $(u, Au)$ est donc libre. En dimension 2, c'est une base.
2. Notons $\mathcal{B} = (u, Au)$ cette base. Cherchons la matrice de l'endomorphisme $f$ associé à $A$ dans cette base : L'image du premier vecteur est $f(u) = Au = 0 \cdot u + 1 \cdot Au$ . L'image du second vecteur est $f(Au) = A^2 u = -u = -1 \cdot u + 0 \cdot Au$ . La matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ est donc : $\boxed{ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix} = J }$ Ainsi, $A$ est semblable à $J$ .
Sens réciproque : Si $A$ est semblable à $M = \text{diag}(J, \dots, J)$ , alors $A^2$ est semblable à $M^2$ . Un calcul par blocs montre que $M^2 = \text{diag}(J^2, \dots, J^2)$ . Or $J^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2$ . Ainsi $M^2 = -I_n$ , et par similitude, $\boxed{A^2 = -I_n}$ .
Sens direct : Supposons $A^2 = -I_n$ . Notons $f$ l'endomorphisme de $E = \mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $A$ . On peut définir une loi de composition externe sur $E$ par le corps $\mathbb{C}$ :
$\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2, \forall x \in E, (a+ib) \cdot x = a x + b f(x)$ Vérifions que cela munit $(E, +)$ d'une structure de $\mathbb{C}$ -espace vectoriel. Le point crucial est l'associativité de la multiplication : $i \cdot (i \cdot x) = i \cdot f(x) = f(f(x)) = f^2(x) = -x = (i^2) \cdot x$ Soit $(e_1, \dots, e_k)$ une base de ce $\mathbb{C}$ -espace vectoriel. La dimension de $E$ sur $\mathbb{R}$ est alors $n = 2k$ . La famille $\mathcal{B} = (e_1, f(e_1), e_2, f(e_2), \dots, e_k, f(e_k))$ constitue une base de $E$ en tant que $\mathbb{R}$ -espace vectoriel. Dans cette base, la matrice de $f$ est composée de $k$ blocs de taille 2 de la forme $\begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . On a bien démontré la similitude demandée.

Une erreur fréquente est de vouloir diagonaliser la matrice directement dans $\mathbb{R}$ . Or, le polynôme minimal est $X^2+1$ , qui n'a pas de racines réelles. La matrice n'est donc jamais diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .