Inexistence d'une racine carrée de la dérivation

On s'intéresse à l'existence d'un endomorphisme dont le carré est égal à l'opérateur de dérivation.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 2$ . On considère un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d'indice $n$ , c'est-à-dire tel que $u^n = 0$ et $u^{n-1} \neq 0$ . Montrer qu'il n'existe aucun endomorphisme $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $v^2 = u$ .
Soit $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ l'espace des fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ . On note $D \in \mathcal{L}(E)$ l'endomorphisme de dérivation défini par $D(f) = f'$ . Existe-t-il un endomorphisme $T \in \mathcal{L}(E)$ tel que $T \circ T = D$ ?

1.

Pour la question 1, si $v^2 = u$ , montrez que $v$ est nécessairement nilpotent et comparez son indice de nilpotence à celui de $u$ . Rappelez-vous que l'indice de nilpotence dans un espace de dimension $n$ est au plus $n$ .

2.

Pour la question 2, raisonnez par l'absurde. Si un tel $T$ existe, montrez qu'il doit stabiliser les sous-espaces de dimension finie $\mathbb{C}_{n}[X]$ car ces derniers sont des noyaux d'itérés de $D$ . Utilisez ensuite le résultat de la question précédente.

Idées clés

•

Lien entre l'indice de nilpotence d'un endomorphisme et la dimension de l'espace.

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Stabilité des noyaux d'itérés par un endomorphisme qui commute avec l'opérateur.

•

Restriction d'un problème de dimension infinie à un sous-espace stable bien choisi.

Résolution.

Supposons par l'absurde qu'il existe $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $v^2 = u$ .
Puisque $u^n = 0$ , nous avons $(v^2)^n = v^{2n} = 0$ . L'endomorphisme $v$ est donc nilpotent.
Soit $k$ l'indice de nilpotence de $v$ . On sait, par une propriété classique du cours sur les endomorphismes nilpotents en dimension $n$ , que :
$\boxed{k \leqslant n}$
Comme $v^k = 0$ , on peut regarder ce qu'il advient des puissances de $u$ . Pour tout entier $p$ , $u^p = (v^2)^p = v^{2p}$ .
Si l'on choisit $p = \lceil k/2 \rceil$ (le plus petit entier supérieur ou égal à $k/2$ ), alors $2p \geqslant k$ . Par conséquent, $v^{2p} = 0$ , ce qui implique $u^p = 0$ .
Par définition de l'indice de nilpotence de $u$ , on doit avoir $p \geqslant n$ . Or, nous avons établi que $k \leqslant n$ , donc :
$p = \lceil k/2 \rceil \leqslant \lceil n/2 \rceil$
On aboutit donc à la condition nécessaire :
$\boxed{n \leqslant \lceil n/2 \rceil}$
Pour $n=2$ , on aurait $2 \leqslant 1$ , ce qui est absurde. Pour $n \geqslant 2$ , on a toujours $\lceil n/2 \rceil < n$ .
L'hypothèse $v^2 = u$ est donc absurde.
Supposons qu'il existe $T \in \mathcal{L}(E)$ tel que $T^2 = D$ .
Remarquons d'abord que $T$ commute avec $D$ :
$T \circ D = T \circ (T \circ T) = T^3 = (T \circ T) \circ T = D \circ T$
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , considérons le sous-espace vectoriel $F_n = \mathbb{C}_{n-1}[X]$ . On sait que $F_n = \ker(D^n)$ .
Comme $T$ commute avec $D$ , $T$ commute aussi avec $D^n$ . Ainsi, le noyau de $D^n$ est stable par $T$ .
$\boxed{T(F_n) \subset F_n}$
Considérons alors les restrictions de $D$ et $T$ au sous-espace $F_n$ (pour un $n \geqslant 2$ fixé). Notons $u = D_{|F_n}$ et $v = T_{|F_n}$ .
L'endomorphisme $u$ est l'opérateur de dérivation sur l'espace des polynômes de degré au plus $n-1$ . On sait que $u$ est nilpotent d'indice $n$ car $u^n = 0$ et $u^{n-1}(X^{n-1}) = (n-1)! \neq 0$ .
Comme $T^2 = D$ , en restreignant à $F_n$ , on obtient :
$\boxed{v^2 = u}$
D'après la question 1, ceci est impossible puisque $\dim(F_n) = n \geqslant 2$ . Par conséquent :
$\boxed{\text{Il n'existe pas d'endomorphisme } T \text{ tel que } T^2 = D}$

L'erreur fréquente est d'oublier de justifier la stabilité de $F_n$ par $T$ . Sans cette stabilité, on ne peut pas définir la restriction $v$ et utiliser l'argument de dimension finie.