Inexistence de racine carrée d'une matrice nilpotente d'indice n

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 2$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On considère une matrice $J \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ nilpotente d'indice $n$ , c'est-à-dire que :

J^{n-1} \neq 0   \text{et}   J^{n} = 0

Montrer que l'équation $X^{2}=J$ ne possède aucune solution $X \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

1.

Si une telle matrice $X$ existe, commencez par montrer qu'elle est nécessairement nilpotente.

2.

Utilisez la propriété fondamentale liant la dimension de l'espace et l'indice de nilpotence d'un endomorphisme.

3.

Comparez les puissances de $X$ et celles de $J$ pour aboutir à une contradiction sur l'indice de nilpotence de $X$ .

Idées clés

•

Analyse par l'absurde.

•

Propriété : si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est nilpotente, son indice de nilpotence $p$ vérifie $p \leq n$ .

•

Manipulation des exposants des puissances de matrices.

Résolution.

Supposons par l'absurde qu'il existe une matrice $X \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $X^{2} = J$ .

Étape 1 : Nilpotence de $X$ .

Par hypothèse, $J$ est nilpotente d'indice $n$ , donc $J^n = 0$ .

En remplaçant $J$ par $X^2$ , nous obtenons :

(X^{2})^{n} = X^{2n} = 0

Ceci prouve que la matrice $X$ est nilpotente.

Étape 2 : Utilisation de l'indice de nilpotence.

Soit $p$ l'indice de nilpotence de la matrice $X$ .

Comme $X \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ , un résultat classique du cours (issu du théorème de Cayley-Hamilton ou de l'étude des noyaux itérés) affirme que :

\boxed{ p \leq n }

Étape 3 : Recherche d'une contradiction.

Exprimons les puissances de $J$ en fonction de $X$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on a $J^k = X^{2k}$ .

En particulier, pour $k = n-1$ , nous avons :

X^{2n-2} = J^{n-1}

Par hypothèse sur $J$ , nous savons que $J^{n-1} \neq 0$ . Par conséquent :

\boxed{ X^{2n-2} \neq 0 }

Cette inégalité implique que l'indice de nilpotence $p$ de $X$ est strictement supérieur à $2n-2$ :

p > 2n-2

Étape 4 : Conclusion.

Nous avons ainsi l'encadrement suivant pour $p$ :

2n - 2 < p \leq n

Ce qui entraîne l'inégalité :

2n - 2 < n

En simplifiant, nous obtenons :

n < 2

Or, l'énoncé stipule que $n \geq 2$ . Nous avons donc une contradiction.

\boxed{ \text{L'équation } X^2 = J \text{ n'admet pas de solution dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{K}). }

L'erreur fréquente est d'oublier de justifier pourquoi $X$ est nilpotente. Il est crucial de passer par $X^{2n}=0$ avant d'invoquer la borne sur l'indice de nilpotence.