Racines carrées de matrices nilpotentes

Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geq 2$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère une matrice $J \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ nilpotente d'indice $n$ , c'est-à-dire telle que $J^{n-1} \neq 0$ et $J^{n} = 0$ .

Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ une solution éventuelle de l'équation $M^{2}=J$ . Montrer que $M$ est nécessairement nilpotente.
En utilisant l'indice de nilpotence de $M$ , démontrer que l'équation $M^{2}=J$ ne possède aucune solution dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .
Application : Résoudre dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})$ l'équation d'inconnue $M$ suivante : $M^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1.

Pour la question 1, utiliser la définition de la nilpotence à partir de la relation $M^2 = J$ .

2.

Pour la question 2, on rappelle que si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est nilpotente, alors son indice de nilpotence $k$ vérifie $k \leq n$ . En déduire une puissance de $M$ qui s'annule et comparer avec les puissances de $J$ .

3.

Pour la question 3, vérifier que la matrice proposée est bien nilpotente d'indice 3.

Idées clés

•

Lien entre les puissances de $M$ et celles de $J$ .

•

Propriété fondamentale : tout endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension $n$ a un indice de nilpotence inférieur ou égal à $n$ .

•

Raisonnement par l'absurde pour obtenir une contradiction sur l'indice de nilpotence.

Résolution.

Supposons qu'il existe $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $M^{2}=J$ . Puisque $J$ est nilpotente, il existe un entier $p$ tel que $J^p = 0$ (ici $p=n$ ). Alors, on a : $(M^2)^n = J^n = 0$ ce qui implique $M^{2n} = 0$ . $\boxed{M \text{ est donc une matrice nilpotente.}}$
Soit $M$ une telle solution. Comme $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et que $M$ est nilpotente, on sait d'après le cours que son indice de nilpotence $k$ est inférieur ou égal à la dimension de l'espace. On a donc : $M^n = 0$ Calculons maintenant $J^{n-1}$ en fonction de $M$ . On a : $J^{n-1} = (M^2)^{n-1} = M^{2n-2}$ Comme $n \geq 2$ , on a l'inégalité $2n - 2 \geq n$ (en effet, $(2n-2) - n = n-2 \geq 0$ ). Puisque $M^n = 0$ , toute puissance de $M$ supérieure ou égale à $n$ est nulle. On en déduit : $M^{2n-2} = 0$ Par conséquent : $J^{n-1} = 0$ Ceci est en contradiction flagrante avec l'hypothèse que $J$ est nilpotente d'indice $n$ (qui impose $J^{n-1} \neq 0$ ). $\boxed{\text{L'équation } M^2 = J \text{ n'admet aucune solution pour } n \geq 2.}$
Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Calculons les puissances de $A$ : $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{et} A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ La matrice $A$ est donc nilpotente d'indice $3$ dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ . D'après le résultat général établi à la question précédente (avec $n=3$ ), cette matrice ne possède pas de racine carrée. $\boxed{\mathcal{S} = \emptyset}$

L'erreur classique est de s'arrêter à $M^{2n}=0$ sans utiliser la contrainte sur la dimension $n$ . Il est crucial de se rappeler que pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , si $M$ est nilpotente, alors $M^n = 0$ .