Racine carrée d'une matrice nilpotente de rang 1

On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$ suivante :

A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^{2} j & j^{2} & 1 j^{2} & 1 & j \end{pmatrix}   \text{où}   j = e^{\frac{2i\pi}{3}}

L'objectif est de déterminer l'ensemble des matrices

B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})

telles que

B^{2} = A

.

Étudier les propriétés de la matrice $A$ : calculer $A^2$ , déterminer son rang et son spectre.
Soit $B \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$ $B \in M_{3} (C)$ une solution de l'équation $B^2 = A$ $B^{2} = A$ .
1. Montrer que $B$ est une matrice nilpotente. Quel est son indice de nilpotence ?
2. Déterminer le rang de $B$ .
3. Justifier que $\ker(B) = \text{Im}(A)$ .
En utilisant une base adaptée à l'endomorphisme associé à $A$ , déterminer toutes les matrices $B$ solutions.

1.

Remarquer que $A$ est une matrice de rang 1 en exprimant ses colonnes en fonction de $C = (1, j, j^2)^T$ . Utiliser le fait que $1+j+j^2 = 0$ .

2.

Si $B^2 = A$ , alors $B$ commute avec $A$ . De plus, $B^2$ étant nilpotente, $B$ l'est aussi. Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ , le seul indice de nilpotence possible pour une racine carrée d'une matrice de rang 1 non nulle est 3.

3.

Construire une base $(v_1, v_2, v_3)$ telle que $A v_1 = 0$ , $A v_2 = 0$ et $A v_3 = \alpha v_1$ . Chercher la matrice de $B$ dans cette base.

Idées clés

•

Analyse de la structure de $A$ (rang 1, nilpotence).

•

Lien entre les noyaux itérés d'un endomorphisme nilpotent.

•

Résolution par réduction à une forme "canonique" dans une base bien choisie.

1. Étude de la matrice $A$

Notons $C = \begin{pmatrix} 1 j j^2 \end{pmatrix}$ . On remarque que les colonnes de $A$ sont respectivement $C$ , $jC$ et $j^2C$ . On peut donc écrire :

A = C \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \end{pmatrix} = C C^T

Calculons le produit $C^T C$ :

C^T C = 1 + j^2 + j^4 = 1 + j^2 + j = 0

On en déduit immédiatement :

A^2 = (C C^T)(C C^T) = C (C^T C) C^T = C \cdot 0 \cdot C^T = \boxed{0_3}

La matrice $A$ est donc nilpotente d'indice 2. Ses colonnes étant proportionnelles au vecteur non nul $C$ , on a :

\boxed{\text{rg}(A) = 1}   \text{et}   \text{Sp}(A) = \{0\}

2. Analyse des propriétés de $B$

Soit $B$ une solution de $B^2 = A$ .

Puisque $A$ est nilpotente ( $A^2 = 0$ ), on a $B^4 = 0$ . Ainsi, $B$ est nilpotente. Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ , le polynôme caractéristique de $B$ est $X^3$ . Par le théorème de Cayley-Hamilton, $B^3 = 0$ . Comme $B^2 = A \neq 0$ , l'indice de nilpotence de $B$ est exactement $\boxed{3}$ .
Pour une matrice nilpotente de taille $3$ , le rang peut être $0, 1$ ou $2$ . Si $\text{rg}(B) \leq 1$ , alors $B^2 = 0$ (car l'indice de nilpotence est inférieur ou égal au rang plus 1, ou par réduction). Ceci contredit $B^2 = A \neq 0$ . Par conséquent : $\boxed{\text{rg}(B) = 2}$
Pour tout endomorphisme nilpotent $u$ d'indice 3 sur un espace de dimension 3, on sait que : $\{0\} \subsetneq \ker(u) \subsetneq \ker(u^2) \subsetneq \ker(u^3) = E$ Ici, $\dim \ker(B) = 3 - \text{rg}(B) = 1$ et $\dim \ker(B^2) = 3 - \text{rg}(A) = 2$ . De plus, $\text{Im}(B^2) \subset \ker(B)$ car $B(B^2) = B^3 = 0$ . Comme $\dim \text{Im}(B^2) = \text{rg}(A) = 1$ et $\dim \ker(B) = 1$ , on a l'égalité : $\boxed{\ker(B) = \text{Im}(A) = \text{Vect}(C)}$

3. Résolution de l'équation

Cherchons une base adaptée. Posons $V_1 = C = (1, j, j^2)^T$ . Complétons $V_1$ en une base $(V_1, V_2)$ de $\ker(A)$ . On peut choisir $V_2 = (1, 1, 1)^T$ car $V_2 \in \ker(A) \iff 1+j+j^2 = 0$ , ce qui est vrai. Enfin, choisissons $V_3 = (1, j^2, j)^T$ . Calculons $A V_3$ :

A V_3 = C \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 j^2 j \end{pmatrix} = C (1 + j^3 + j^3) = 3 C = 3 V_1

Dans la base $\mathcal{B} = (V_1, V_2, V_3)$ , la matrice de l'endomorphisme associé à $A$ est :

M_{\mathcal{B}}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Soit $M = \text{Mat}_{\mathcal{B}}(B)$ . Comme $B^2=A$ , $B$ commute avec $A$ . Un calcul de commutant ou l'utilisation de la structure des noyaux montre que $B$ doit être de la forme :

M = \begin{pmatrix} 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

En calculant

M^2

, on obtient :

M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ac 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

On veut

M^2 = M_{\mathcal{B}}(A)

, ce qui impose

ac = 3

. Les paramètres

a

et

b

sont libres sous réserve que

a \neq 0

. Ainsi,

c = 3/a

.

Conclusion. Les solutions sont les matrices de la forme :

\boxed{B = P \begin{pmatrix} 0 & a & b 0 & 0 & 3/a 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}}

où

a \in \mathbb{C}^*

,

b \in \mathbb{C}

, et

P

est la matrice de passage :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 j & 1 & j^2 j^2 & 1 & j \end{pmatrix}

Une erreur classique est de penser que $B$ est nécessairement un polynôme en $A$ . Or, si $B = \alpha I + \beta A$ , alors $B^2 = \alpha^2 I + 2\alpha\beta A$ (car $A^2=0$ ). Pour avoir $B^2=A$ , il faudrait $\alpha^2=0 \implies \alpha=0$ , puis $0=1$ (coefficient de $A$ ), ce qui est impossible.