Racine carrée d'un bloc nilpotent

Soit $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) et on considère la matrice $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Déterminer l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ telles que $M^2 = A$ .

1.

Étudier le caractère nilpotent d'une éventuelle solution $M$ .

2.

Calculer les premières puissances de la matrice $A$ .

3.

Utiliser le fait que dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , si une matrice est nilpotente, son indice de nilpotence est inférieur ou égal à $n$ .

Idées clés

•

Lien entre les puissances de $M$ et celles de $A$ .

•

Propriété de l'indice de nilpotence en dimension finie ( $M^n = 0$ pour toute matrice nilpotente de taille $n$ ).

•

Raisonnement par l'absurde.

Analyse des propriétés de la matrice $A$ .

Commençons par calculer les puissances successives de la matrice $A$ . On obtient par un calcul direct :

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}   \text{et}   A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 0_3

On remarque que la matrice $A$ est nilpotente d'indice 3. En particulier :

\boxed{ A^2 \neq 0_3   \text{et}   A^3 = 0_3 }

Étude d'une éventuelle solution $M$ .

Supposons qu'il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ telle que $M^2 = A$ .

Comme $A^3 = 0_3$ , nous en déduisons la relation suivante sur les puissances de $M$ :

(M^2)^3 = A^3 = 0_3 \implies M^6 = 0_3

Cette égalité montre que la matrice $M$ est nilpotente.

Or, nous savons que pour toute matrice nilpotente $M$ appartenant à $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , l'indice de nilpotence de $M$ est au plus égal à $n$ . Ici, $n=3$ , donc nous avons nécessairement :

\boxed{ M^3 = 0_3 }

Obtention d'une contradiction.

À partir de $M^3 = 0_3$ , nous pouvons déterminer les puissances supérieures de $M$ . Pour tout entier $k \geq 3$ , on a $M^k = 0_3$ .

En particulier, pour $k=4$ , nous avons :

M^4 = 0_3

D'un autre côté, en utilisant l'équation de départ $M^2 = A$ , nous pouvons exprimer $M^4$ en fonction de $A$ :

M^4 = (M^2)^2 = A^2

On aboutit alors à l'égalité suivante :

A^2 = 0_3

Cependant, nous avons calculé précédemment que $A^2 \neq 0_3$ (le coefficient à la première ligne et troisième colonne vaut 1). Il y a donc une contradiction flagrante.

Conclusion.

L'hypothèse de l'existence d'une telle matrice $M$ est fausse. L'ensemble des solutions de l'équation est donc vide :

\boxed{ \mathcal{S} = \emptyset }

L'erreur classique consiste à essayer de résoudre le système de 9 équations à 9 inconnues issu de l'écriture $M = (m_{i,j})$ . C'est extrêmement long et source d'erreurs. Le passage par les propriétés de nilpotence est ici indispensable pour une démonstration élégante.