Multiplicité spectrale et racines non-polynomiales

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ la matrice définie par :

A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 1 8 & -7 & 2 12 & -12 & 4 \end{pmatrix}

Montrer que $A$ est diagonalisable et semblable à $D = \text{diag}(0, 1, 1)$ .
Trouver une matrice $B$ telle que $B^2 = A$ , mais telle que $B$ ne soit pas de la forme $\alpha A + \beta I + \gamma A^2$ .
Soit $C = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 j & j^2 & 1 j^2 & 1 & j \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ où $j = e^{2i\pi/3}$ . Déterminer une racine carrée de $C$ .

1.

Pour la question 2, chercher une racine carrée $M$ de $D$ qui ne soit pas diagonale. Une symétrie peut convenir sur le bloc associé à la valeur propre 1.

2.

Pour la question 3, $C$ est une matrice circulante. Utiliser la base de Fourier ou remarquer que $C^2$ est proportionnelle à $C$ .

Idées clés

•

Lorsque les valeurs propres sont multiples, il existe des racines carrées qui ne sont pas des polynômes en $A$ .

•

Sur un sous-espace propre $E_\lambda$ , toute matrice $S$ telle que $S^2 = \lambda I$ convient.

Résolution.

Le calcul du polynôme caractéristique donne $\chi_A(X) = -X(X-1)^2$ . On vérifie que $\dim(\ker(A)) = 1$ et $\dim(\ker(A-I)) = 2$ . $\boxed{A = P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} P^{-1}}$ avec par exemple $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 3 & -4 & 4 \end{pmatrix}$ .
Si $M^2 = D$ , $M$ peut être de la forme $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & a & b 0 & c & d \end{pmatrix}$ avec $\begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}^2 = I_2$ . On peut choisir une matrice de symétrie non diagonale : $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . On prend alors $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . La matrice $\boxed{B = P M P^{-1}}$ est alors une racine carrée de $A$ . Comme $M$ n'est pas diagonale alors que $D$ l'est, $B$ n'est pas un polynôme en $A$ .
Pour la matrice circulante $C$ , on remarque que la somme de chaque ligne est $1+j+j^2 = 0$ . En calculant $C^2$ , on obtient : $C^2 = \begin{pmatrix} 1+j^2+j^4 & j+j^3+j^2 & \dots \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+j^2+j & j+1+j^2 & \dots \dots & \dots & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ En réalité, le calcul direct montre que $C^2 = (1+j+j^2)C = 0$ . Ainsi, la matrice nulle est une solution (triviale), mais cherchons si $C$ elle-même a une racine. On trouve que $C$ est de rang 1 car toutes les colonnes sont proportionnelles à $\begin{pmatrix} 1 j j^2 \end{pmatrix}$ . $\text{Tr}(C) = 1+j^2+j = 0$ . Une matrice de rang 1 et de trace nulle est nilpotente d'indice 2. Une matrice nilpotente d'indice 2 n'a pas de racine carrée dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ . $\boxed{\text{Il n'existe pas de } B \text{ tel que } B^2 = C}$ .

Attention à la question 3 : posséder une trace nulle et être de rang 1 pour une matrice $3\times 3$ implique $C^2=0$ . Or, si $B^2=C$ , alors $B^4=0$ , donc $B$ est nilpotente. Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ , le carré d'une matrice nilpotente a un indice de nilpotence réduit, ce qui mène souvent à une contradiction.