Équations matricielles et non-diagonalisabilité

On étudie l'équation $X^2 = M$ pour des matrices $M$ qui ne sont pas nécessairement diagonalisables.

Cas d'une matrice nilpotente. Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . L'équation $X^2 = M$ admet-elle des solutions dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ ?
Cas de valeurs propres multiples. Résoudre $X^2 = M$ $X^{2} = M$ pour les deux matrices suivantes :
1. $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
2. $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 5 & 4 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$
3. $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

1.

Pour la question 1, utiliser l'indice de nilpotence. Si $X^2 = M$ , quel serait l'indice de nilpotence de $X$ ?

2.

Pour la question 2.(a) et 2.(b), utiliser un développement limité de $(1+u)^{1/2}$ pour trouver une solution sous forme de polynôme en $M$ .

3.

Pour la question 2.(c), utiliser le fait que $X$ doit être triangulaire inférieure (car elle commute avec $M$ ).

Idées clés

•

Indice de nilpotence : si $X^2=M$ , alors $M^k=0 \implies X^{2k}=0$ .

•

Pour une matrice de la forme $M = \lambda I + N$ avec $N$ nilpotente, on cherche $X$ sous la forme $a I + b N + c N^2$ .

Résolution.

Analyse de la nilpotence. Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . On remarque que $M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$ et $M^3 = 0$ . L'indice de nilpotence de $M$ est 3. Supposons qu'il existe $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ telle que $X^2 = M$ . Alors $X^4 = M^2 \neq 0$ et $X^6 = M^3 = 0$ . Ainsi, $X$ est une matrice nilpotente dans un espace de dimension 3. D'après le cours, le polynôme caractéristique de $X$ est $P_X(T) = T^3$ , et par le théorème de Cayley-Hamilton, $X^3 = 0$ . Ceci implique $X^4 = 0$ , ce qui contredit $X^4 \neq 0$ . $\boxed{\mathcal{S} = \emptyset}$
Étude des cas non diagonalisables.
1. Pour $M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ , on calcule $\chi_M(X) = (2-X)^3$ . Posons $N = M - 2I$ . On a $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . On vérifie que $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 2 & 2 & -2 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ et $N^3 = 0$ . On cherche $X$ sous la forme $X = a I + b N + c N^2$ . L'équation $X^2 = 2I + N$ donne : $a^2 I + 2ab N + (b^2 + 2ac) N^2 = 2I + N$ . Par identification : $a = \pm \sqrt{2}$ , $b = \frac{1}{2a} = \frac{\pm 1}{2\sqrt{2}}$ et $c = \frac{-b^2}{2a} = \frac{-1}{8a} = \frac{\mp 1}{16\sqrt{2}}$ . $\boxed{X = \pm \sqrt{2} \left( I + \frac{1}{4} N - \frac{1}{32} N^2 \right)}$
2. $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 5 & 4 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ est une matrice bloc-diagonale $\text{diag}(1, M')$ avec $M' = \begin{pmatrix} 5 & 4 0 & 5 \end{pmatrix}$ . Une solution $X$ est de la forme $\text{diag}(\varepsilon, X')$ avec $\varepsilon^2=1$ et $X'^2 = M'$ . En posant $X' = \pm \sqrt{5} I + \alpha (M'-5I)$ , on trouve $2\alpha \sqrt{5} = 1$ , soit $\alpha = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ . $X' = \pm \sqrt{5} \begin{pmatrix} 1 & 2/5 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Il y a 4 solutions : $\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \begin{pmatrix} \varepsilon & 0 & 0 0 & \pm \sqrt{5} & \pm \frac{2}{\sqrt{5}} 0 & 0 & \pm \sqrt{5} \end{pmatrix}, \varepsilon \in \{-1, 1\} \right\}}$
3. $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ . Comme $M$ est triangulaire inférieure avec des valeurs propres $\{1, 1, 4\}$ , une solution $X$ commute avec $M$ . L'analyse du commutant montre que $X$ est aussi triangulaire inférieure. Soit $X = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 b & c & 0 d & e & f \end{pmatrix}$ . $X^2 = M$ donne $a^2=1, c^2=1, f^2=4$ . On obtient $a=c$ car $b(a+c)=1$ . Donc $a=c=1$ ou $a=c=-1$ . Après calculs, on trouve 4 solutions : $\boxed{X = \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 1/2 & 1 & 0 1/3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \text{ et } X = \pm \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 1/2 & 1 & 0 -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}}$

Attention à la matrice nulle ! Si $M$ est la matrice nulle, $X^2=0$ possède une infinité de solutions (toutes les matrices dont le carré est nul, pas seulement la matrice nulle).