Équation X^2 = A en dimension 4

On définit la matrice $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ et on considère la matrice $A \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{C})$ définie par blocs :

A = \begin{pmatrix} J & 0 0 & J \end{pmatrix}

Résoudre dans $\mathcal{M}_{4}(\mathbb{C})$ l'équation $X^{2} = A$ .

1.

Commencer par montrer que si $X$ existe, elle est nilpotente et déterminer son rang.

2.

Effectuer un changement de base pour transformer $A$ en une matrice plus simple, par exemple $B = \begin{pmatrix} 0 & I_2 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

3.

Chercher $X$ sous forme de blocs $\begin{pmatrix} U & V 0 & W \end{pmatrix}$ compatibles avec la structure de $B$ .

Idées clés

•

Réduction de la difficulté par changement de base (similitude).

•

Utilisation de la structure par blocs pour résoudre des équations de type $X^2 = \text{nilpotente}$ .

•

Analyse du noyau et de la stabilité des sous-espaces.

Résolution.

1. Analyse préliminaire. Soit $X$ une solution. On a $X^2 = A$ . Comme $A^2 = 0$ , on a $X^4 = 0$ , donc $X$ est nilpotente. Le rang de $A$ est 2. Puisque $A = X^2$ , on a $\text{rg}(X) \geq \text{rg}(A) = 2$ . De plus, par les propriétés des endomorphismes nilpotents en dimension 4, le rang de $X$ ne peut pas être 4 (sinon $X$ est inversible). On montre par l'étude des noyaux itérés que le rang est en fait 3.

2. Simplification par similitude. Soit $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ la base canonique de $\mathbb{C}^4$ . L'endomorphisme $u$ associé à $A$ vérifie : $u(e_1)=0, u(e_2)=e_1, u(e_3)=0, u(e_4)=e_3$ . Réordonnons la base : $\mathcal{B}' = (e_1, e_3, e_2, e_4)$ . Dans cette base, la matrice de $u$ est :

B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0_2 & I_2 0_2 & 0_2 \end{pmatrix}

On cherche $Y$ telle que $Y^2 = B$ . Comme $Y$ commute avec $B$ , $Y$ doit stabiliser $\ker(B) = \text{Vect}(e_1, e_3)$ . Ainsi, $Y$ est de la forme par blocs :

Y = \begin{pmatrix} U & V 0 & W \end{pmatrix}   \text{avec } U, V, W \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})

3. Résolution du système par blocs. L'équation $Y^2 = B$ devient :

\begin{pmatrix} U^2 & UV + VW 0 & W^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & I_2 0 & 0 \end{pmatrix}

Ceci équivaut au système :

\text{(S)} : \begin{cases} U^2 = 0 W^2 = 0 UV + VW = I_2 \end{cases}

Pour que $UV+VW = I_2$ soit possible, $U$ et $W$ ne peuvent pas être nuls (sinon la somme serait de rang $\leq 1 < 2$ ). Ainsi, $U$ et $W$ sont des matrices nilpotentes d'indice 2 dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ . Elles sont donc semblables à $J$ : $U = PJP^{-1}$ et $W = QJQ^{-1}$ .

4. Conditions sur les blocs. En posant $V' = P^{-1}VQ$ , la troisième équation devient $J V' + V' J = P^{-1} Q$ . Soit $V' = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \gamma & \delta \end{pmatrix}$ . On calcule :

J V' + V' J = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \gamma & \delta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & \beta \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \alpha+\delta 0 & \gamma \end{pmatrix}

Pour que cette matrice soit inversible, il faut et suffit que $\gamma \neq 0$ . Si cette condition est remplie, on peut poser $R = \begin{pmatrix} \gamma & \alpha+\delta 0 & \gamma \end{pmatrix}$ et on aura $P^{-1}Q = R$ .

Conclusion. L'ensemble des solutions est constitué des matrices $X = P_0 Y P_0^{-1}$ où $P_0$ est la matrice de passage vers $\mathcal{B}'$ , et $Y$ est de la forme $\begin{pmatrix} U & V 0 & W \end{pmatrix}$ respectant les conditions ci-dessus.

\boxed{\text{Il existe une infinité de solutions.}}

Attention à ne pas supposer que $X$ est elle-même de la forme $\text{diag}(X_1, X_2)$ avec $X_i^2 = J$ . On a vu dans l'exercice 1 que $X_i^2 = J$ n'a pas de solution. La solution ici repose sur le mélange des blocs via $V$ .