Résolution d'une équation matricielle polynomiale

Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

Déterminer l'ensemble des matrices $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ telles que :

X^2 + X = A

1.

Commencer par diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ .

2.

Montrer que toute solution $X$ commute nécessairement avec $A$ .

3.

Utiliser le fait que si $A$ possède des valeurs propres distinctes, toute matrice commutant avec $A$ est diagonalisable dans la même base que $A$ .

4.

Résoudre les équations scalaires sur les coefficients de la forme diagonale.

Idées clés

•

Commutativité induite par la relation polynomiale : $XA = AX$ .

•

Réduction simultanée : si $A$ est à valeurs propres simples, son commutant est l'ensemble des matrices diagonalisables dans la même base.

•

Résolution d'équations du second degré dans $\mathbb{C}$ .

1. Analyse des éléments propres de $A$ .

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ :

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_2) = (1-\lambda)^2 - 4 = (1-\lambda-2)(1-\lambda+2) = (\lambda+1)(\lambda-3)

Les valeurs propres de $A$ sont distinctes :

\text{Sp}(A) = \{-1, 3\}

Comme $A$ possède deux valeurs propres distinctes en dimension 2, elle est diagonalisable. Cherchons les sous-espaces propres associés :

Pour $\lambda = 3$ : $A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 2 2 & -2 \end{pmatrix}$ , donc $E_3 = \text{Vect} \left( \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix} \right)$ .
Pour $\lambda = -1$ : $A + I = \begin{pmatrix} 2 & 2 2 & 2 \end{pmatrix}$ , donc $E_{-1} = \text{Vect} \left( \begin{pmatrix} 1 -1 \end{pmatrix} \right)$ .

En posant $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix}$ , on a $D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}$ .

Un calcul rapide donne :

\boxed{ P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix} }

2. Propriétés de la solution $X$ .

Soit $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ une solution de $X^2 + X = A$ . On a :

XA = X(X^2 + X) = X^3 + X^2 = (X^2 + X)X = AX

Ainsi, $X$ commute avec $A$ . Comme $A$ a deux valeurs propres distinctes, les sous-espaces propres de $A$ sont des droites vectorielles stables par $X$ .

Soit $v_1 = \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}$ et $v_2 = \begin{pmatrix} 1 -1 \end{pmatrix}$ les vecteurs propres de $A$ . Comme $X$ commute avec $A$ , on a $X(E_3) \subset E_3$ et $X(E_{-1}) \subset E_{-1}$ .

Il existe donc des complexes $\mu_1$ et $\mu_2$ tels que $Xv_1 = \mu_1 v_1$ et $Xv_2 = \mu_2 v_2$ . Ceci signifie que $X$ est diagonalisée par la même matrice de passage $P$ :

\boxed{ X = P \begin{pmatrix} \mu_1 & 0 0 & \mu_2 \end{pmatrix} P^{-1} }

3. Résolution des équations scalaires.

L'équation $X^2 + X = A$ devient, en conjuguant par $P$ :

\begin{pmatrix} \mu_1^2 + \mu_1 & 0 0 & \mu_2^2 + \mu_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}

On obtient le système :

$\mu_1^2 + \mu_1 - 3 = 0$
$\mu_2^2 + \mu_2 + 1 = 0$

Pour la première équation, le discriminant est $\Delta_1 = 1 + 12 = 13$ . Les racines sont :

\mu_1 \in \left\{ \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \right\}

Pour la deuxième équation, le discriminant est $\Delta_2 = 1 - 4 = -3$ . Les racines sont :

\mu_2 \in \left\{ \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right\} = \{j, j^2\}

4. Conclusion.

Il y a $2 \times 2 = 4$ couples $(\mu_1, \mu_2)$ possibles. Pour chaque couple, on calcule $X = P \text{diag}(\mu_1, \mu_2) P^{-1}$ :

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_1 & 0 0 & \mu_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \mu_1 + \mu_2 & \mu_1 - \mu_2 \mu_1 - \mu_2 & \mu_1 + \mu_2 \end{pmatrix}

L'ensemble des solutions est constitué des matrices de la forme :

\boxed{ X = \begin{pmatrix} \frac{\mu_1 + \mu_2}{2} & \frac{\mu_1 - \mu_2}{2} \frac{\mu_1 - \mu_2}{2} & \frac{\mu_1 + \mu_2}{2} \end{pmatrix} }

avec $\mu_1 \in \left\{ \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \right\}$ et $\mu_2 \in \left\{ \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right\}$ .

Attention à ne pas oublier que si l'énoncé demande les solutions dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , il faut impérativement traiter les racines complexes. Ici, l'équation en $\mu_2$ n'a pas de solutions réelles.