Surjectivité des polynômes de matrices

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On s'intéresse à l'application $\phi_P : M \mapsto P(M)$ définie sur des espaces de matrices pour un polynôme $P$ donné.

Cas complexe : Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ un polynôme non constant. Montrer que pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ diagonalisable, il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $P(M) = A$ .
Cas réel : Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme de degré pair. L'application $\phi_P : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par $\phi_P(M) = P(M)$ est-elle surjective ?

1.

Pour la question 1, utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss pour garantir que $P: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ est surjective, puis construire $M$ sous forme diagonale dans une base de diagonalisation de $A$ .

2.

Pour la question 2, considérer les propriétés des limites d'un polynôme de degré pair sur $\mathbb{R}$ . Étudier ensuite le lien entre le spectre complexe d'une matrice réelle $M$ et celui de $P(M)$ .

Idées clés

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Surjectivité de $P$ sur $\mathbb{C}$ (d'Alembert-Gauss).

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Lien entre les spectres : $\text{Sp}(P(M)) = P(\text{Sp}(M))$ .

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Propriété des matrices réelles : les valeurs propres non réelles sont conjuguées deux à deux avec la même multiplicité.

Résolution.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice diagonalisable. Il existe donc $Q \in GL_n(\mathbb{C})$ et des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C}$ tels que : $A = Q \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) Q^{-1}$
Le polynôme $P$ est non constant, donc d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, l'application $z \mapsto P(z)$ est surjective de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ . Ainsi, pour chaque $j \in \{1, \dots, n\}$ , il existe au moins un complexe $\mu_j$ tel que :
$P(\mu_j) = \lambda_j$
Définissons alors la matrice $M$ par :
$M = Q \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n) Q^{-1}$
Par propriété du calcul matriciel polynomial, on a :
$P(M) = Q P\left( \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n) \right) Q^{-1}$ $P(M) = Q \operatorname{diag}(P(\mu_1), \dots, P(\mu_n)) Q^{-1}$
En remplaçant les $P(\mu_j)$ par les $\lambda_j$ , on obtient :
$\boxed{P(M) = A}$ L'existence de $M$ est donc établie.
La réponse est négative. Prouvons que $\phi_P$ n'est pas surjective.
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré pair $2k$ ( $k \ge 1$ ). Quitte à considérer $-P$ , supposons que le coefficient dominant de $P$ est positif. Alors $\lim_{x \to \pm \infty} P(x) = +\infty$ . Par continuité sur $\mathbb{R}$ , $P$ admet un minimum global $m \in \mathbb{R}$ :
$\forall x \in \mathbb{R}, P(x) \ge m$
Considérons une valeur $\alpha < m$ . Comme $\alpha \notin P(\mathbb{R})$ , le polynôme $P(X) - \alpha$ n'a pas de racine réelle. Soit $A = \operatorname{diag}(\alpha, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ une matrice diagonale réelle où les $\lambda_j$ sont des réels distincts et supérieurs à $m$ .
Supposons qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $P(M) = A$ . Soit $\chi_M \in \mathbb{R}[X]$ le polynôme caractéristique de $M$ . Si $z \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $M$ de multiplicité $k_z$ , alors $P(z)$ est une valeur propre de $P(M)$ de multiplicité au moins $k_z$ .
Comme $\alpha$ est une valeur propre de $A$ , il existe $z_0 \in \text{Sp}_{\mathbb{C}}(M)$ tel que $P(z_0) = \alpha$ . Or $\alpha < m$ , donc d'après l'étude de $P$ sur $\mathbb{R}$ , on a nécessairement $z_0 \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ .
Puisque $M$ est une matrice réelle, son polynôme caractéristique est à coefficients réels. Les racines non réelles apparaissent donc par paires conjuguées avec la même multiplicité. Ainsi, $\bar{z_0}$ est aussi une valeur propre de $M$ avec la même multiplicité que $z_0$ .
Comme $P$ est à coefficients réels, on a $P(\bar{z_0}) = \overline{P(z_0)} = \bar{\alpha} = \alpha$ . La valeur $\alpha$ doit donc apparaître comme valeur propre de $P(M)$ avec une multiplicité au moins égale à la somme des multiplicités de $z_0$ et $\bar{z_0}$ , soit une multiplicité paire (au moins 2).
Or, dans la matrice $A$ , la valeur propre $\alpha$ est de multiplicité 1 par construction. C'est une contradiction.

$\boxed{\text{L'application } \phi_P \text{ n'est pas surjective sur } \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).}$

L'erreur classique est d'oublier que même si $M$ est réelle, elle possède des valeurs propres complexes. Il ne suffit pas de dire que $P(\mathbb{R})$ est borné inférieurement, il faut prouver que les images des valeurs propres complexes de $M$ par $P$ ne peuvent pas "combler" les lacunes de $P(\mathbb{R})$ sans introduire de multiplicités paires.