Équations matricielles réelles et réduction par blocs

On se propose d'étudier plusieurs équations matricielles dans l'espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Résolution d'un cas particulier : Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$ satisfaisant l'équation : $A^{2} = \text{Diag}(1, 2, -1, -1)$
Étude de l'équation $M^2 = -I_n$ $M^{2} = - I_{n}$ :
1. Montrer que si cette équation possède une solution, alors $n$ est nécessairement pair.
2. Soit $M$ une telle solution. Montrer que $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme $\text{diag}(B, \dots, B)$ où $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix}$ .
3. En déduire toutes les solutions de l'équation $M^2 = -I_n$ .
Résolution de l'équation $M^3 = -M$ : Déterminer la forme réduite des solutions de cette équation par similitude et caractériser l'ensemble des solutions.

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que si $A^2 = D$ , alors $A$ commute avec $D$ . Étudier la restriction de l'endomorphisme associé aux sous-espaces propres de $D$ .

2.

Pour la question 2, considérer le déterminant ou le polynôme caractéristique pour la parité de $n$ . Pour la réduction, on pourra munir l'espace d'une structure de $\mathbb{C}$ -espace vectoriel ou utiliser des plans stables.

3.

Pour la question 3, appliquer le lemme des noyaux avec le polynôme annulateur $P(X) = X^3 + X$ .

Idées clés

•

Commutation et préservation des sous-espaces propres.

•

Lien entre spectre complexe et structure réelle (blocs de rotation).

•

Utilisation du lemme des noyaux pour décomposer l'espace.

Résolution.

Soit $D = \text{diag}(1, 2, -1, -1)$ . Si $A^2 = D$ , alors $A$ commute avec $D$ . Les sous-espaces propres de $D$ sont $E_1 = \text{Vect}(e_1)$ , $E_2 = \text{Vect}(e_2)$ et $E_{-1} = \text{Vect}(e_3, e_4)$ . Comme $A$ commute avec $D$ , $A$ stabilise ces trois sous-espaces. Sur $E_1$ , $A$ agit comme une homothétie $x \mapsto \lambda x$ avec $\lambda^2 = 1$ , donc $\lambda \in \{1, -1\}$ . Sur $E_2$ , $A$ agit comme $x \mapsto \mu x$ avec $\mu^2 = 2$ , donc $\mu \in \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$ . Sur $E_{-1}$ , la restriction $A_{|E_{-1}}$ vérifie $(A_{|E_{-1}})^2 = -I_2$ . Une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ vérifie $M^2 = -I_2$ si et seulement si son polynôme caractéristique est $X^2+1$ . Cela impose $\text{Tr}(M) = 0$ et $\det(M) = 1$ , soit $d = -a$ et $a^2 + bc = -1$ . L'ensemble des solutions est constitué des matrices de la forme : $\boxed{ A = \begin{pmatrix} \epsilon_1 & 0 & 0 & 0 0 & \epsilon_2 \sqrt{2} & 0 & 0 0 & 0 & a & b 0 & 0 & c & -a \end{pmatrix} \text{ avec } \epsilon_1, \epsilon_2 \in \{-1, 1\} \text{ et } a^2+bc = -1 }$
1. Si $M^2 = -I_n$ , alors $(\det M)^2 = \det(M^2) = \det(-I_n) = (-1)^n$ . Comme $M$ est réelle, $(\det M)^2 \geq 0$ , ce qui impose $(-1)^n \geq 0$ . $\boxed{ n \text{ est pair} }$
2. Soit $n = 2p$ . Le polynôme $P(X) = X^2+1$ annule $M$ . Ses racines sont $i$ et $-i$ . $M$ est donc diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Les valeurs propres ne peuvent être que $i$ et $-i$ . Comme $M$ est réelle, les valeurs propres non réelles viennent par paires conjuguées avec la même multiplicité. Ainsi, la multiplicité de $i$ est $p$ et celle de $-i$ est $p$ . Considérons l'endomorphisme $u$ associé à $M$ . On peut définir une structure de $\mathbb{C}$ -espace vectoriel sur $\mathbb{R}^n$ en posant : $(a+ib) \cdot v = av + b u(v)$ Ceci est bien défini car $u^2 = -\text{id}$ . Soit $(v_1, \dots, v_p)$ une base de ce $\mathbb{C}$ -espace vectoriel. Alors la famille $(v_1, u(v_1), v_2, u(v_2), \dots, v_p, u(v_p))$ est une base de $\mathbb{R}^n$ . Dans cette base, $u$ est représenté par blocs de la forme $\begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . En échangeant l'ordre des vecteurs de chaque paire (ou en changeant de signe), on obtient la matrice $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix}$ . $\boxed{ M \sim \text{diag}(B, \dots, B) }$
3. Les solutions sont les matrices de la forme $P J P^{-1}$ avec $P \in GL_n(\mathbb{R})$ et : $\boxed{ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & -1 & 0 & & & & \ddots & & & & 0 & 1 & & & -1 & 0 \end{pmatrix} }$
Soit $M^3 + M = 0$ . Le polynôme $P(X) = X(X^2+1)$ annule $M$ . D'après le lemme des noyaux : $\mathbb{R}^n = \ker(M) \oplus \ker(M^2+I)$ Soit $r = \dim \ker(M)$ . Alors $n-r$ doit être pair d'après la question précédente, notons $n-r = 2p$ . Sur $\ker(M)$ , $M$ agit comme la matrice nulle $0_r$ . Sur $\ker(M^2+I)$ , d'après 2(b), $M$ est semblable à $p$ blocs $B$ . $\boxed{ M \sim \text{diag}(0_r, B, \dots, B) }$ Les solutions sont les matrices semblables à une telle matrice par blocs, pour tout $r \in \{0, \dots, n\}$ tel que $n-r$ soit pair.

Ne pas oublier que pour $M^2 = -I_n$ , la similitude n'est pas limitée à une seule matrice $P$ . L'ensemble des solutions est une classe de similitude entière.