Caractérisation des puissances n-ièmes

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On s'intéresse à l'existence d'une "racine $n$ -ième" pour la matrice $A$ , c'est-à-dire une matrice $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $X^n = A$ .

Montrer que $A$ est une puissance $n$ -ième dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ si et seulement si :

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^2)

1.

Pour le sens direct ( $\implies$ ), considérer la suite des noyaux itérés d'une matrice $X$ telle que $X^n = A$ . Utiliser le fait que cette suite stationne au plus tard à l'indice $n$ .

2.

Pour le sens réciproque ( $\impliedby$ ), utiliser la condition sur le rang pour obtenir une décomposition de l'espace en somme directe $\mathbb{C}^n = \ker(A) \oplus \operatorname{im}(A)$ .

3.

Sur $\operatorname{im}(A)$ , la restriction de l'endomorphisme est inversible. Utiliser le lemme des noyaux pour se ramener à des endomorphismes de la forme $\lambda \operatorname{id} + N$ avec $N$ nilpotent, puis utiliser un développement en série entière (tronqué) pour trouver une racine $n$ -ième.

Idées clés

•

Stabilité de la suite des noyaux itérés d'un endomorphisme en dimension $n$ .

•

Décomposition de Fitting (ou lemme de décomposition des noyaux).

•

Calcul fonctionnel sur les matrices nilpotentes (série binomiale).

Condition nécessaire ( $\implies$ ).

Supposons qu'il existe $X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $X^n = A$ .

Considérons la suite des noyaux itérés de $X$ , notée $(K_m)_{m \in \mathbb{N}}$ où $K_m = \ker(X^m)$ . Cette suite est croissante au sens de l'inclusion. De plus, il est classique qu'en dimension $n$ , si $K_m = K_{m+1}$ , alors la suite stationne à partir du rang $m$ .

Comme la dimension de l'espace est $n$ , la suite doit stationner au plus tard à l'indice $n$ . On a donc :

\ker(X^n) = \ker(X^{n+1}) = \dots = \ker(X^{2n})

Or, par hypothèse, $A = X^n$ et $A^2 = X^{2n}$ . L'égalité précédente donne directement :

\boxed{\ker(A) = \ker(A^2)}

D'après le théorème du rang, l'égalité des dimensions des noyaux implique l'égalité des rangs :

\boxed{\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^2)}

Condition suffisante ( $\impliedby$ ).

Supposons que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^2)$ . D'après le théorème du rang, cela équivaut à $\dim(\ker A) = \dim(\ker A^2)$ .

Comme $\ker(A) \subset \ker(A^2)$ , on en déduit $\ker(A) = \ker(A^2)$ . D'après le lemme de la base adaptée ou les propriétés classiques des noyaux itérés, cela entraîne :

\mathbb{C}^n = \ker(A) \oplus \operatorname{im}(A)

Soit $u$ l'endomorphisme associé à $A$ . Les deux sous-espaces de la somme directe ci-dessus sont stables par $u$ .

Sur $E_1 = \ker(A)$ , l'endomorphisme induit est nul. La matrice nulle de taille $k \times k$ est la puissance $n$ -ième de la matrice nulle.
Sur $E_2 = \operatorname{im}(A)$ , l'endomorphisme induit, noté $u_2$ , est un automorphisme (car son noyau est réduit à $\{0\}$ ).

Il suffit donc de montrer que tout automorphisme $v$ d'un espace de dimension finie sur $\mathbb{C}$ possède une racine $n$ -ième.

Le polynôme caractéristique de $v$ est scindé sur $\mathbb{C}$ et $0$ n'est pas valeur propre. D'après le lemme des noyaux appliqué aux sous-espaces caractéristiques, on peut décomposer $E_2$ en :

E_2 = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{sp}(v)} \ker(v - \lambda \operatorname{id})^{m_\lambda}

Sur chaque sous-espace $V_\lambda = \ker(v - \lambda \operatorname{id})^{m_\lambda}$ , on peut écrire $v = \lambda \operatorname{id} + \nu$ où $\nu$ est un endomorphisme nilpotent qui commute avec $\lambda \operatorname{id}$ . Comme $\lambda \neq 0$ , on écrit :

v = \lambda \left( \operatorname{id} + \frac{1}{\lambda} \nu \right)

Posons $M = \frac{1}{\lambda} \nu$ , qui est encore nilpotent. On cherche une racine $n$ -ième de $\operatorname{id} + M$ sous la forme d'un polynôme en $M$ . On utilise le développement en série entière de $(1+z)^{1/n}$ :

(1+z)^{1/n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{1/n}{k} z^k

Puisque $M^d = 0$ pour un certain $d \in \mathbb{N}$ , la série appliquée à $M$ est en fait une somme finie :

w = \sum_{k=0}^{d-1} \binom{1/n}{k} M^k

Par propriété des séries formelles (ou par prolongement analytique), on a $w^n = \operatorname{id} + M$ . En prenant une racine $n$ -ième complexe $\mu$ de $\lambda$ ( $\mu^n = \lambda$ ), l'endomorphisme $\mu w$ est une racine $n$ -ième de $v$ sur $V_\lambda$ .

En recollant les solutions sur chaque sous-espace de la somme directe, on construit un endomorphisme $x$ tel que $x^n = u$ .

Attention, ce résultat est faux sur $\mathbb{R}$ . Par exemple, la matrice $A = (-1) \in \mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ vérifie $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^2) = 1$ , mais n'admet pas de racine carrée ( $n=2$ ) dans $\mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ car $x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle.