Convergence d'une suite et d'une série de fonctions d'Erlang

Résolution.

1. Étude de la suite $(f_n)$ : Fixons $x \in [0, +\infty[$. Par croissance comparée, on a immédiatement :
   $$\lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{n!} = 0$$
   Ainsi, la suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0, +\infty[$. Pour la convergence uniforme, cherchons la norme infinie de $f_n$. La fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ et :
   $$\forall x > 0,   f_n'(x) = \frac{n x^{n-1} e^{-x} - x^n e^{-x}}{n!} = \frac{x^{n-1}(n-x)e^{-x}}{n!}$$
   La fonction $f_n$ est croissante sur $[0, n]$ et décroissante sur $[n, +\infty[$. Elle admet donc un maximum en $x = n$. On en déduit :
   $$\|f_n\|_{\infty, \mathbb{R}_+} = f_n(n) = \frac{n^n e^{-n}}{n!}$$
   En utilisant la formule de Stirling $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$, on obtient l'équivalent :
   $$f_n(n) \sim \frac{n^n e^{-n}}{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} = 0$, il vient $\lim_{n \to +\infty} \|f_n\|_{\infty} = 0$.
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers } 0 \text{ sur } [0, +\infty[.}$$

2. Étude de la série $\sum f_n$ :
   1. Pour tout $x \ge 0$, on reconnaît le terme général d'une série exponentielle :
      $$\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = e^{-x} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^{-x} \cdot e^x = 1$$
      $$\boxed{\text{La série converge simplement sur } [0, +\infty[ \text{ vers la fonction constante } S : x \mapsto 1.}$$

   2. Convergence normale : D'après la question 1, $\|f_n\|_{\infty, \mathbb{R}_+} \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}$. Comme la série de Riemann $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, la série $\sum f_n$ ne converge pas normalement sur $[0, +\infty[$. Soit $a > 0$. Pour $n \ge a$, on a vu que $f_n$ est croissante sur $[0, a]$ car son maximum est en $n$. Alors :
      $$\forall n \ge a,   \sup_{x \in [0, a]} |f_n(x)| = f_n(a) = \frac{a^n e^{-a}}{n!}$$
      La série $\sum \frac{a^n}{n!}$ converge (série exponentielle), donc par comparaison, $\sum \|f_n\|_{\infty, [0, a]}$ converge.
      $$\boxed{\text{Il y a convergence normale (et donc uniforme) sur tout segment } [0, a].}$$

   3. Convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ : Supposons par l'absurde que la série converge uniformément sur $[0, +\infty[$. D'après le théorème de la double limite en $+\infty$ : 1. Pour chaque $n$, $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0$ par croissance comparée. 2. La série $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$. Alors la somme $S(x)$ doit admettre une limite en $+\infty$ égale à la somme des limites :
      $$\lim_{x \to +\infty} S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} 0 = 0$$
      Or, nous avons montré que $\forall x \ge 0, S(x) = 1$, donc $\lim_{x \to +\infty} S(x) = 1$. L'absurdité $1 = 0$ prouve que :
      $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ ne converge pas uniformément sur } [0, +\infty[.}$$