Propriétés de la fonction Gamma de Gauss

Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $f_n$ par :

f_n(x) = \frac{n^x n!}{\prod_{k=0}^n (x+k)}

Montrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$ vers une fonction que l'on notera $\Gamma$ .
Justifier que pour tout $x > 0$ , on a la relation : $\ln \Gamma(x) = -\ln x - \gamma x + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{x}{n} - \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) \right)$ où $\gamma$ désigne la constante d'Euler.
Démontrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ .
Établir les propriétés suivantes :
1. $\Gamma(1) = 1$ .
2. $\forall x > 0, \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ .
3. La fonction $x \mapsto \ln \Gamma(x)$ est convexe sur $\mathbb{R}_+^*$ .
Soit $g : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}_+^*$ une fonction vérifiant $g(1)=1$ , $\forall x > 0, g(x+1)=xg(x)$ et dont le logarithme est convexe. Montrer que $g = \Gamma$ .

1.

Pour la convergence, étudier la série de terme général $u_n(x) = \ln f_{n+1}(x) - \ln f_n(x)$ en effectuant un développement limité.

2.

Utiliser la définition de la constante d'Euler $\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right)$ .

3.

Pour le caractère $\mathcal{C}^1$ , appliquer le théorème de dérivation des séries de fonctions sur tout segment $[a, b] \subset \mathbb{R}_+^*$ .

4.

Pour la convexité de $\ln \Gamma$ , calculer la dérivée seconde de la série obtenue à la question 2.

5.

Pour l'unicité (théorème de Bohr-Mollerup), utiliser les inégalités de convexité pour encadrer $g(x+n)$ à l'aide de valeurs entières de $g$ .

Idées clés

•

Étude de convergence via le passage au logarithme et les séries télescopiques.

•

Utilisation de la constante d'Euler pour transformer les sommes finies en séries.

•

Théorèmes de régularité pour les séries de fonctions (convergence normale des dérivées sur tout compact).

•

Caractérisation de la convexité par le signe de la dérivée seconde ou par les accroissements.

Résolution.

Fixons $x > 0$ . On étudie la suite $v_n = \ln f_n(x)$ . On a : $v_{n+1} - v_n = \ln\left( \frac{(n+1)^x (n+1)!}{\prod_{k=0}^{n+1} (x+k)} \cdot \frac{\prod_{k=0}^n (x+k)}{n^x n!} \right) = x \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \ln(n+1) - \ln(x+n+1)$ Effectuons un développement limité au voisinage de $+\infty$ : $v_{n+1} - v_n = x \left( \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) + \ln(n+1) - \ln\left((n+1)\left(1 + \frac{x}{n+1}\right)\right)$ $v_{n+1} - v_n = \frac{x}{n} - \ln\left(1 + \frac{x}{n+1}\right) + O\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{x}{n} - \frac{x}{n+1} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) = O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ La série $\sum (v_{n+1} - v_n)$ converge absolument, donc la suite $(v_n)$ converge vers une limite réelle. Par continuité de l'exponentielle : $\boxed{\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \text{ existe et est strictement positive.}}$
Reprenons l'expression de $\ln f_n(x)$ : $\ln f_n(x) = x \ln n + \sum_{k=1}^n \ln k - \sum_{k=0}^n \ln(x+k) = x \ln n - \ln x - \sum_{k=1}^n \ln\left(1 + \frac{x}{k}\right)$ On introduit la constante d'Euler en écrivant $x \ln n = x(\ln n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}) + \sum_{k=1}^n \frac{x}{k}$ . Alors : $\ln f_n(x) = -\ln x + x\left(\ln n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right) + \sum_{k=1}^n \left( \frac{x}{k} - \ln\left(1 + \frac{x}{k}\right) \right)$ En passant à la limite quand $n \to +\infty$ : $\boxed{\ln \Gamma(x) = -\ln x - \gamma x + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{x}{n} - \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right) \right)}$
Posons $h_n(x) = \frac{x}{n} - \ln\left(1 + \frac{x}{n}\right)$ . Chaque $h_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ . Calculons la dérivée : $h_n'(x) = \frac{1}{n} - \frac{1/n}{1+x/n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} = \frac{x}{n(n+x)}$ . Soit $[a, b] \subset \mathbb{R}_+^*$ . Pour tout $x \in [a, b]$ , $|h_n'(x)| \le \frac{b}{n^2}$ . La série $\sum h_n'$ converge donc normalement (et donc uniformément) sur tout segment de $\mathbb{R}_+^*$ . D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, la somme $\sum h_n$ est $\mathcal{C}^1$ . Comme les autres termes de $\ln \Gamma(x)$ sont $\mathcal{C}^1$ , on en déduit que : $\boxed{\Gamma \text{ est de classe } \mathcal{C}^1 \text{ sur } \mathbb{R}_+^*.}$
(a) $f_n(1) = \frac{n \cdot n!}{(n+1)!} = \frac{n}{n+1} \to 1$ . Donc $\boxed{\Gamma(1) = 1}$ . (b) $f_n(x+1) = \frac{n^{x+1} n!}{\prod_{k=0}^n (x+1+k)} = f_n(x) \cdot \frac{n(x)}{x+n+1}$ . En passant à la limite : $\Gamma(x+1) = \Gamma(x) \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{nx}{n+x+1} = \boxed{x\Gamma(x)}$ . (c) En dérivant deux fois l'expression du logarithme : $(\ln \Gamma)''(x) = \frac{1}{x^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+x)^2}$ Cette quantité est strictement positive pour tout $x > 0$ . $\boxed{x \mapsto \ln \Gamma(x) \text{ est strictement convexe sur } \mathbb{R}_+^*.}$
Soit $g$ vérifiant les hypothèses. Posons $\phi = \ln g$ . On a $\phi(x+1) = \phi(x) + \ln x$ et $\phi(1)=0$ . Par convexité, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in ]0, 1]$ , on a l'encadrement des pentes : $\frac{\phi(n) - \phi(n-1)}{n - (n-1)} \le \frac{\phi(n+x) - \phi(n)}{(n+x) - n} \le \frac{\phi(n+1) - \phi(n)}{(n+1) - n}$ Comme $\phi(n) = \ln((n-1)!)$ , on obtient : $\ln(n-1) \le \frac{\phi(n+x) - \ln((n-1)!)}{x} \le \ln n$ D'où $x \ln(n-1) + \ln((n-1)!) \le \phi(x+n) \le x \ln n + \ln((n-1)!)$ . En utilisant $\phi(x+n) = \phi(x) + \ln(x(x+1)\dots(x+n-1))$ , on isole $\phi(x)$ et on passe à la limite pour montrer que $\phi(x) = \ln \Gamma(x)$ . $\boxed{g = \Gamma}$

Attention au signe de la constante d'Euler dans la forme exponentielle de Weierstrass.

La fonction Gamma est caractérisée par sa log-convexité et sa relation de récurrence (Bohr-Mollerup).