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Caractérisation d'une fonction par ses moments pairs

WeierstrassmomentsparitédensitéintégraleThéorème de WeierstrassParité

Soit f:[−1,1]→Rf : [-1, 1] \to \mathbb{R} une fonction continue. On suppose que pour tout entier naturel nn, l'intégrale suivante est nulle :

∫−11f(t)t2n dt=0\int_{-1}^{1} f(t) t^{2n}   \mathrm{d}t = 0

Déterminer la nature de la fonction ff.

1.

Décomposer la fonction ff en sa partie paire fpf_p et sa partie impaire fif_i.

2.

Montrer que l'intégrale de ff contre tout polynôme pair est nulle.

3.

Utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass pour approcher la partie paire de ff par des polynômes pairs.

Idées clés

•

Décomposition en parties paire et impaire.

•

Théorème de Stone-Weierstrass (ou densité des polynômes).

•

Propriété de l'intégrale d'une fonction continue positive de nulle.

Résolution.

Considérons la décomposition de ff en ses parties paire et impaire, notées respectivement fpf_p and fif_i. Pour tout t∈[−1,1]t \in [-1, 1] :

fp(t)=f(t)+f(−t)2etfi(t)=f(t)−f(−t)2f_p(t) = \frac{f(t) + f(-t)}{2}   \text{et}   f_i(t) = \frac{f(t) - f(-t)}{2}

Par linéarité de l'intégrale, l'hypothèse implique que pour tout polynôme pair P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X], nous avons :

∫−11f(t)P(t) dt=0\int_{-1}^1 f(t) P(t)   \mathrm{d}t = 0

Remarquons que pour tout polynôme pair PP, le produit fi⋅Pf_i \cdot P est une fonction impaire sur l'intervalle symétrique [−1,1][-1, 1]. Son intégrale est donc nulle :

∫−11fi(t)P(t) dt=0\int_{-1}^1 f_i(t) P(t)   \mathrm{d}t = 0

Par conséquent, en écrivant f=fp+fif = f_p + f_i, on obtient pour tout polynôme pair PP :

∫−11fp(t)P(t) dt=0\int_{-1}^1 f_p(t) P(t)   \mathrm{d}t = 0

D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes (Qk)k∈N(Q_k)_{k \in \mathbb{N}} convergeant uniformément vers fpf_p sur [−1,1][-1, 1]. Définissons PkP_k la partie paire de QkQ_k, c'est-à-dire Pk(t)=Qk(t)+Qk(−t)2P_k(t) = \frac{Q_k(t) + Q_k(-t)}{2}.

Comme fpf_p est paire, on a pour tout t∈[−1,1]t \in [-1, 1] :

∣fp(t)−Pk(t)∣=∣fp(t)+fp(−t)2−Qk(t)+Qk(−t)2∣≤12∣fp(t)−Qk(t)∣+12∣fp(−t)−Qk(−t)∣|f_p(t) - P_k(t)| = \left| \frac{f_p(t) + f_p(-t)}{2} - \frac{Q_k(t) + Q_k(-t)}{2} \right| \leq \frac{1}{2} |f_p(t) - Q_k(t)| + \frac{1}{2} |f_p(-t) - Q_k(-t)|

Ainsi, ∥fp−Pk∥∞≤∥fp−Qk∥∞\|f_p - P_k\|_\infty \leq \|f_p - Q_k\|_\infty, ce qui prouve que la suite de polynômes pairs (Pk)(P_k) converge uniformément vers fpf_p.

En utilisant la convergence uniforme sur un segment, on peut passer à la limite sous l'intégrale :

∫−11fp(t)2 dt=∫−11fp(t)lim⁡k→∞Pk(t) dt=lim⁡k→∞∫−11fp(t)Pk(t) dt\int_{-1}^1 f_p(t)^2   \mathrm{d}t = \int_{-1}^1 f_p(t) \lim_{k \to \infty} P_k(t)   \mathrm{d}t = \lim_{k \to \infty} \int_{-1}^1 f_p(t) P_k(t)   \mathrm{d}t

Or, chaque terme de la suite est nul d'après ce qui précède. On en déduit :

∫−11fp(t)2 dt=0\boxed{ \int_{-1}^1 f_p(t)^2   \mathrm{d}t = 0 }

La fonction fp2f_p^2 étant continue et positive sur [−1,1][-1, 1], son intégrale nulle implique fp2=0f_p^2 = 0, donc fp=0f_p = 0.

Conclusion : La partie paire de ff est nulle, ce qui signifie que :

f est une fonction impaire.\boxed{ f \text{ est une fonction impaire.} }

Réciproquement, si ff est impaire, alors pour tout nn, t↦f(t)t2nt \mapsto f(t)t^{2n} est impaire, et son intégrale sur [−1,1][-1, 1] est bien nulle.

Conclure que f est nulle alors qu'elle est seulement impaire.

L'utilisation de la densité des polynômes pairs pour isoler la partie paire d'une fonction.