Théorème de Weierstrass sur la droite réelle

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{K}$ une fonction continue, où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ .

Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$ qui converge vers $f$ uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

1.

Utiliser le théorème de Weierstrass classique sur une suite de segments emboîtés, par exemple $[-n, n]$ .

2.

Construire la suite $(P_n)$ en contrôlant l'erreur d'approximation sur chaque segment.

3.

Pour le cas complexe, séparer les parties réelle et imaginaire ou appliquer le théorème directement sur $\mathbb{C}$ .

Idées clés

•

Utilisation du théorème de Weierstrass sur un segment.

•

Définition de la convergence uniforme sur tout compact (ou convergence locale).

•

Extension du cas réel au cas complexe par linéarité.

Résolution.

Considérons d'abord le cas où $f$ est à valeurs réelles ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ).

Pour chaque entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ , on considère la restriction de $f$ au segment $I_n = [-n, n]$ . Puisque $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , sa restriction à $I_n$ est continue sur le segment $I_n$ .

D'après le théorème d'approximation de Weierstrass, pour tout $\epsilon > 0$ , il existe un polynôme réalisant une approximation uniforme de $f$ sur ce segment. En particulier, pour $\epsilon_n = \frac{1}{n}$ , il existe un polynôme $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que :

\sup_{x \in [-n, n]} |f(x) - P_n(x)| \leq \frac{1}{n}

Montrons que cette suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ convient. Soit $K$ un segment quelconque de $\mathbb{R}$ . Par propriété des segments, il existe un entier $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $K \subset [-N, N]$ .

Pour tout $n \geq N$ , on a l'inclusion $K \subset [-n, n]$ , ce qui implique :

\sup_{x \in K} |f(x) - P_n(x)| \leq \sup_{x \in [-n, n]} |f(x) - P_n(x)|

D'après la construction de $P_n$ , nous en déduisons :

\forall n \geq N,   \|f - P_n\|_{\infty, K} \leq \frac{1}{n}

Puisque la suite $(1/n)$ converge vers $0$ , on en conclut que la suite $(P_n)$ converge uniformément vers $f$ sur le segment $K$ . Ceci étant vrai pour tout segment $K$ , la suite converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

Cas complexe : Si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ , on peut écrire $f = u + iv$ avec $u, v$ continues et réelles. Il existe $(Q_n)$ et $(R_n)$ suites de polynômes réels convergeant uniformément vers $u$ et $v$ sur tout segment. Alors $P_n = Q_n + iR_n$ convient.

\boxed{ \text{La suite } (P_n) \text{ converge vers } f \text{ uniformément sur tout segment.} }

Ne pas confondre convergence uniforme sur tout segment et convergence uniforme sur R.

La convergence uniforme locale s'obtient par Weierstrass sur des segments croissants.