Approximation polynomiale monotone

Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.

Démontrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ et qui est croissante, c'est-à-dire que :

\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [0, 1],   P_n(x) \leq P_{n+1}(x)

1.

Commencer par utiliser le théorème de Weierstrass pour obtenir une suite de polynômes $(Q_n)$ convergeant uniformément vers $f$ .

2.

Modifier la suite $(Q_n)$ en retranchant des constantes bien choisies pour forcer la monotonie.

3.

On pourra poser $P_n = Q_n - \alpha_n$ avec $\alpha_n$ une suite de réels judicieusement choisie.

Idées clés

•

Théorème d'approximation de Weierstrass.

•

Contrôle de l'écart entre deux termes consécutifs d'une suite convergente.

•

Construction par décalage pour assurer la monotonie.

Résolution.

D'après le théorème de Weierstrass, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , il existe un polynôme $Q_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que :

\|f - Q_n\|_{\infty} \leq \frac{1}{2^{n+2}}

Nous souhaitons construire $P_n$ sous la forme $P_n = Q_n - c_n$ où $c_n$ est une constante positive telle que $P_n$ converge vers $f$ et $P_{n+1} \geq P_n$ . Posons $c_n = \frac{1}{2^n}$ . Alors :

|f(x) - P_n(x)| = |f(x) - Q_n(x) + \frac{1}{2^n}| \leq |f(x) - Q_n(x)| + \frac{1}{2^n}

D'où $\|f - P_n\|_{\infty} \leq \frac{1}{2^{n+2}} + \frac{1}{2^n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$ . La convergence uniforme est donc assurée. Étudions maintenant la monotonie. Pour tout $x \in [0, 1]$ :

P_{n+1}(x) - P_n(x) = Q_{n+1}(x) - Q_n(x) + \frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}}

Simplifions le terme constant : $\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^{n+1}}$ . On a alors :

P_{n+1}(x) - P_n(x) = Q_{n+1}(x) - Q_n(x) + \frac{1}{2^{n+1}}

Majorons $|Q_{n+1}(x) - Q_n(x)|$ en utilisant l'inégalité triangulaire avec $f$ :

|Q_{n+1}(x) - Q_n(x)| \leq |Q_{n+1}(x) - f(x)| + |f(x) - Q_n(x)|

|Q_{n+1}(x) - Q_n(x)| \leq \frac{1}{2^{n+3}} + \frac{1}{2^{n+2}} = \frac{3}{2^{n+3}}

Il vient alors :

P_{n+1}(x) - P_n(x) \geq \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{3}{2^{n+3}} = \frac{4 - 3}{2^{n+3}} = \frac{1}{2^{n+3}}

Ainsi, pour tout $x \in [0, 1]$ :

\boxed{ P_{n+1}(x) - P_n(x) > 0 }

La suite $(P_n)$ est donc strictement croissante et converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$ .

Vouloir utiliser des fonctions min/max qui ne sont pas des polynômes.

Forcer la monotonie par un décalage epsilon_n dominant l'erreur d'approximation.