Théorème de Weierstrass avec contraintes d'interpolation

Résolution.

1. Existence d'une approximation uniforme initiale. D'après le théorème de Weierstrass, la fonction $f$ étant continue sur le segment $[0, 1]$, il existe une suite de fonctions polynomiales $(Q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$. Cela signifie que :
   $$\lim_{n \to +\infty} \|f - Q_n\|_{\infty} = 0$$
   En particulier, pour chaque point $\alpha_k$ de la subdivision, nous avons la convergence ponctuelle :
   $$\forall k \in \llbracket 0, N \rrbracket,   \lim_{n \to +\infty} Q_n(\alpha_k) = f(\alpha_k)$$

2. Construction de la suite corrective. Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, nous cherchons un polynôme de correction $L_n$ tel que le polynôme $P_n = Q_n + L_n$ vérifie $P_n(\alpha_k) = f(\alpha_k)$. Cela impose la condition :
   $$L_n(\alpha_k) = f(\alpha_k) - Q_n(\alpha_k)   \text{pour tout } k \in \llbracket 0, N \rrbracket$$
   Soit $(\ell_0, \ell_1, \dots, \ell_N)$ la base des polynômes de Lagrange associés aux points $(\alpha_k)$, définie par :
   $$\forall (k, j) \in \llbracket 0, N \rrbracket^2,   \ell_k(\alpha_j) = \delta_{k,j}$$
   Nous définissons alors le polynôme $L_n$ par :
   $$L_n(X) = \sum_{k=0}^N \left( f(\alpha_k) - Q_n(\alpha_k) \right) \ell_k(X)$$

3. Vérification des conditions d'interpolation et de convergence. Par construction, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $j \in \llbracket 0, N \rrbracket$ :
   $$P_n(\alpha_j) = Q_n(\alpha_j) + \sum_{k=0}^N (f(\alpha_k) - Q_n(\alpha_k)) \delta_{k,j} = Q_n(\alpha_j) + f(\alpha_j) - Q_n(\alpha_j) = f(\alpha_j)$$
   $\boxed{ \forall n \in \mathbb{N}, \forall k \in \llbracket 0, N \rrbracket, P_n(\alpha_k) = f(\alpha_k) }$ Étudions maintenant la convergence uniforme de $(L_n)$. Puisque la famille $(\ell_k)_{0 \le k \le N}$ est fixée (elle ne dépend pas de $n$), on peut majorer la norme infinie de $L_n$ sur $[0, 1]$ :
   $$\|L_n\|_{\infty} \le \sum_{k=0}^N |f(\alpha_k) - Q_n(\alpha_k)| \cdot \|\ell_k\|_{\infty}$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} (f(\alpha_k) - Q_n(\alpha_k)) = 0$ pour chaque $k$, et que la somme comporte un nombre fini de termes constants $\|\ell_k\|_{\infty}$, on en déduit :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \|L_n\|_{\infty} = 0 }$$
   Enfin, par inégalité triangulaire :
   $$\|f - P_n\|_{\infty} = \|f - (Q_n + L_n)\|_{\infty} \le \|f - Q_n\|_{\infty} + \|L_n\|_{\infty}$$
   Les deux termes de droite tendent vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. On conclut que la suite de polynômes $(P_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0, 1]$.