Intégrabilité d'une fonction exponentielle

Résolution.

1. Décomposition de la fonction en série. Pour tout $x \in ]0, 1[$, on peut écrire le développement en série entière de l'exponentielle :
   $$\exp(\alpha f(x)^2) = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{\alpha^p f(x)^{2p}}{p!}$$
   Posons, pour tout $p \in \mathbb{N}$, la fonction $u_p$ définie sur $]0, 1[$ par :
   $$u_p(x) = \frac{\alpha^p f(x)^{2p}}{p!}$$
   Chaque fonction $u_p$ est continue sur $]0, 1[$ et est positive. Par hypothèse, $|f|^{2p}$ est intégrable sur $]0, 1[$, donc $u_p$ est intégrable pour tout $p \in \mathbb{N}$.

2. Application du théorème d'intégration terme à terme. La série $\sum u_p$ est une série de fonctions continues et positives. D'après le théorème d'intégration terme à terme pour les fonctions positives, la fonction $\sum_{p=0}^{+\infty} u_p$ est intégrable sur $]0, 1[$ si et seulement si la série des intégrales converge. Notons $I_p = \int_0^1 u_p(x)   dx$. Nous devons montrer que $\sum I_p < +\infty$.
3. Majoration des intégrales $I_p$. D'après les hypothèses sur les normes $L^p$ de $f$, nous avons pour $p \geqslant 1$ :
   $$\int_0^1 |f(t)|^{2p}   dt \leqslant (M \sqrt{2p})^{2p} = M^{2p} (2p)^p$$
   On en déduit une majoration du terme général $I_p$ :
   $$I_p = \frac{\alpha^p}{p!} \int_0^1 f(x)^{2p}   dx \leqslant \frac{\alpha^p M^{2p} 2^p p^p}{p!}$$
   Soit :
   $$\boxed{ I_p \leqslant \frac{(2 \alpha M^2)^p p^p}{p!} }$$

4. Étude de la convergence de la série. Utilisons la formule de Stirling pour le dénominateur : $p! \sim \left(\frac{p}{e}\right)^p \sqrt{2\pi p}$. Le majorant, notons-le $v_p$, vérifie :
   $$v_p \sim \frac{(2 \alpha M^2)^p p^p}{\left(\frac{p}{e}\right)^p \sqrt{2\pi p}} = \frac{(2 e \alpha M^2)^p}{\sqrt{2\pi p}}$$
   Cette série converge (par comparaison avec une série géométrique) si la raison est strictement inférieure à 1 :
   $$2 e \alpha M^2 < 1 \iff \alpha < \frac{1}{2 e M^2}$$
   Pour un tel choix de $\alpha$, la série $\sum I_p$ converge par comparaison de séries à termes positifs.

5. Conclusion. Pour $\alpha > 0$ suffisamment petit (par exemple $\alpha = \frac{1}{6 M^2}$), la somme des intégrales est finie. Par conséquent, la fonction $x \mapsto \exp(\alpha f(x)^2)$ est intégrable sur $]0, 1[$.
   $$\boxed{ \int_0^1 \exp(\alpha f(x)^2)   dx = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{\alpha^p}{p!} \int_0^1 f(x)^{2p}   dx < +\infty }$$