Approximation du sinus par itération

Résolution.

1. Aspect numérique
   1. En remarquant que $f_n(x) = \Phi(f_{n-1}(x/3))$, on peut coder la fonction de manière itérative. La valeur de départ est $x/3^n$ à laquelle on applique $n$ fois la fonction $\Phi$.

      \begin{verbatim} def f(n, x): val = x / (3**n) for _ in range(n): val = 3 * val - 4 * (val**3) return val \end{verbatim}

   2. Pour $n=0$, $f_0(x)=x$ est une droite. À mesure que $n$ augmente, les oscillations se rapprochent de celles de la fonction $\sin(x)$. Les graphes montrent une convergence vers $\sin(x)$ sur des intervalles de plus en plus grands.

2. Étude de la fonction auxiliaire
   1. $\Phi$ est dérivable et $\Phi'(t) = 3 - 12t^2 = 3(1-2t)(1+2t)$. Sur $[-1, 1]$, $\Phi'$ s'annule en $\pm 1/2$. $\Phi(1/2) = 3/2 - 4/8 = 1$ et $\Phi(-1/2) = -1$. Aux bornes : $\Phi(1) = -1$ et $\Phi(-1) = 1$. Le maximum de $|\Phi|$ sur $[-1, 1]$ est $1$.
      $$\boxed{\Phi([-1, 1]) = [-1, 1]}$$

   2. $\Phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[-1, 1]$. Pour tout $t \in [-1, 1]$, on a $t^2 \in [0, 1]$, d'où $\Phi'(t) \in [3-12, 3]$, soit $\Phi'(t) \in [-9, 3]$. Ainsi, $\sup_{t \in [-1, 1]} |\Phi'(t)| = 9$. Par l'inégalité des accroissements finis :
      $$\boxed{\forall x, y \in [-1, 1],   |\Phi(x) - \Phi(y)| \leqslant 9|x - y|}$$

   3. D'après la formule de trigonométrie usuelle :
      $$\boxed{\Phi(\sin(\theta)) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = \sin(3\theta)}$$

3. Convergence de la suite
   1. Initialisation : Pour $n=0$, $|f_0(x) - \sin(x)| = |x - \sin(x)|$. L'inégalité est vérifiée avec $9^0 = 1$. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. Soit $x \in [-3^{n+1}, 3^{n+1}]$. Alors $x/3 \in [-3^n, 3^n]$. Par hypothèse de récurrence :
      $$|f_n(x/3) - \sin(x/3)| \leqslant 9^n \left| \frac{x/3}{3^n} - \sin\left(\frac{x/3}{3^n}\right) \right| = 9^n \left| \frac{x}{3^{n+1}} - \sin\left(\frac{x}{3^{n+1}}\right) \right|$$
      De plus, $x/3^{n+1} \in [-1, 1]$, donc $\sin(x/3^{n+1}) \in [-1, 1]$. On montre par récurrence sur $k$ que si $|u| \le 1$, alors $|\Phi^{\circ k}(u)| \le 1$. Ici $f_n(x/3) \in [-1, 1]$. En utilisant la question 2.(b) et 2.(c) :
      $$|f_{n+1}(x) - \sin(x)| = |\Phi(f_n(x/3)) - \Phi(\sin(x/3))| \leqslant 9 |f_n(x/3) - \sin(x/3)|$$
      En injectant l'hypothèse de récurrence :
      $$|f_{n+1}(x) - \sin(x)| \leqslant 9 \cdot 9^n \left| \frac{x}{3^{n+1}} - \sin\left(\frac{x}{3^{n+1}}\right) \right|$$
      Ce qui achève la récurrence.
      $$\boxed{|f_n(x) - \sin(x)| \leqslant 9^n \left| \frac{x}{3^n} - \sin\left(\frac{x}{3^n}\right) \right|}$$

   2. On sait que $\sin(u) = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ quand $u \to 0$. Il existe donc $M > 0$ tel que pour tout $u \in [-1, 1]$, $|u - \sin(u)| \leqslant M|u|^3$ (en fait $M=1/6$ convient). Pour $x$ fixé et $n$ assez grand tel que $x/3^n \in [-1, 1]$ :
      $$|f_n(x) - \sin(x)| \leqslant 9^n M \left| \frac{x}{3^n} \right|^3 = \frac{M|x|^3}{(3^2)^n \cdot (3^n)} \cdot 9^n = \frac{M|x|^3}{3^n}$$
      Comme $\frac{M|x|^3}{3^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, la suite converge simplement vers la fonction sinus.

   3. Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$. Posant $A = \max(|a|, |b|)$, on a pour tout $x \in [a, b]$ :
      $$|f_n(x) - \sin(x)| \leqslant \frac{M A^3}{3^n}$$
      Cette borne supérieure ne dépend pas de $x$ et tend vers 0. Conclusion : La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $\sin$ sur tout segment de $\mathbb{R}$.