Séries et sommes partielles | WikiPrépa Maths

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on note $s_n = \sum_{k=0}^n u_k$ la somme partielle d'ordre $n$ .

Établir que la série $\sum u_n$ converge si, et seulement si, la série $\sum \frac{u_n}{s_n}$ converge.
On suppose dans cette question que la série $\sum u_n$ $\sum u_{n}$ diverge. Soit $\alpha \in \mathbb{R}_+^*$ $α \in R_{+}^{*}$ .
1. Discuter, selon la valeur de $\alpha$ , la nature de la série de terme général $v_n = \frac{u_n}{s_n^\alpha}$ .
2. Dans le cas $\alpha > 1$ , on pourra utiliser une comparaison avec l'intégrale $\int_{s_{n-1}}^{s_n} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ .

1.

Pour la question 1, le sens direct est immédiat par comparaison. Pour le sens réciproque, raisonner par l'absurde en supposant que $\sum u_n$ diverge et utiliser un développement limité du logarithme.

2.

Pour la question 2(a), si $\alpha \leq 1$ , comparer $v_n$ avec le cas $\alpha = 1$ .

3.

Pour $\alpha > 1$ , l'inégalité $s_n - s_{n-1} = u_n$ permet d'encadrer $v_n$ par une intégrale bien choisie.

Idées clés

•

Lien entre série et suite des sommes partielles.

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Comparaison série-intégrale pour les fonctions décroissantes.

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Utilisation de la relation $u_n = s_n - s_{n-1}$ .

Résolution.

Sens direct : Si $\sum u_n$ converge, alors $s_n$ converge vers une limite réelle $S > 0$ . On a alors l'équivalence : $\frac{u_n}{s_n} \sim \frac{u_n}{S}$ Par comparaison de séries à termes positifs, la série $\sum \frac{u_n}{s_n}$ converge.
Sens réciproque : Supposons que $\sum u_n$ diverge. Puisque $u_n > 0$ , on a $s_n \to +\infty$ . Si $\frac{u_n}{s_n}$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement. Si $\frac{u_n}{s_n} \to 0$ , alors on utilise le développement limité $\ln(1-x) = -x + o(x)$ :
$\ln\left(\frac{s_{n-1}}{s_n}\right) = \ln\left(1 - \frac{u_n}{s_n}\right) \sim -\frac{u_n}{s_n}$ Puisque $\ln(s_n) \to +\infty$ , la série télescopique $\sum (\ln(s_n) - \ln(s_{n-1}))$ diverge vers $+\infty$ . Par comparaison, $\sum \frac{u_n}{s_n}$ diverge également. Par contraposée, si $\sum \frac{u_n}{s_n}$ converge, alors $\sum u_n$ converge. $\boxed{\sum u_n \text{ converge } \iff \sum \frac{u_n}{s_n} \text{ converge}}$
On suppose $s_n \to +\infty$ $s_{n} \to + \infty$ .
1. Cas $\alpha \leq 1$ : Pour $n$ assez grand, $s_n \geq 1$ . Puisque $\alpha \leq 1$ , on a $s_n^\alpha \leq s_n$ , d'où : $\frac{u_n}{s_n^\alpha} \geq \frac{u_n}{s_n}$ Comme $\sum \frac{u_n}{s_n}$ diverge d'après la question 1, la série $\sum v_n$ diverge par comparaison.
2. Cas $\alpha > 1$ : La fonction $t \mapsto t^{-\alpha}$ est décroissante sur $]0, +\infty[$ . Pour $t \in [s_{n-1}, s_n]$ , on a $\frac{1}{s_n^\alpha} \leq \frac{1}{t^\alpha}$ . En intégrant sur $[s_{n-1}, s_n]$ : $\frac{s_n - s_{n-1}}{s_n^\alpha} \leq \int_{s_{n-1}}^{s_n} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$ Comme $u_n = s_n - s_{n-1}$ , on obtient : $\boxed{v_n \leq \frac{1}{\alpha-1} \left( \frac{1}{s_{n-1}^{\alpha-1}} - \frac{1}{s_n^{\alpha-1}} \right)}$ Le terme de droite est le terme général d'une série télescopique convergente (car $s_n \to +\infty$ et $\alpha-1 > 0$ ). Par comparaison, la série $\sum v_n$ converge.

Oublier le cas où le terme général ne tend pas vers 0.

Comportement de type Riemann pour les sommes partielles.