Convergence d'une moyenne de puissances de cosinus

On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \geq 1}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

\forall n \in \mathbb{N}^*,   \forall x \in \mathbb{R},   f_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos^{2k}(2 \pi k x)

Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ sur $\mathbb{R}$ . On distinguera les cas $x \in \mathbb{Q}$ et $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ .
La suite $(f_n)$ converge-t-elle uniformément sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ de longueur non nulle ?

Indication : Pour le cas irrationnel, on pourra utiliser le résultat d'équirépartition modulo 1 : si $x \notin \mathbb{Q$ $x \in / Q$ , pour toute fonction $g$ continue et $1$ -périodique, $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n g(kx) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 g(t) \mathrm{d}t$ .}

1.

Pour $x = p/q$ , séparer dans la somme les indices $k$ multiples de $q$ des autres. Utiliser une majoration par une série géométrique pour les termes restants.

2.

Pour $x \notin \mathbb{Q}$ , fixer un entier $M$ et majorer $\cos^{2k}(2\pi kx)$ par $\cos^{2M}(2\pi kx)$ pour $k \geq M$ . Appliquer ensuite le théorème d'équirépartition.

3.

Pour la convergence uniforme, utiliser le fait que la limite d'une suite de fonctions continues convergeant uniformément est continue.

Idées clés

•

Étude de la limite d'une moyenne de Cesàro modifiée.

•

Équirépartition de la suite $(nx)$ pour $x$ irrationnel (Théorème de Weyl).

•

Propriété de continuité de la limite uniforme.

1. Étude de la convergence simple.

Premier cas : $x \in \mathbb{Q$ $x \in Q$ .}

Soit $x = \frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}^*$ et $\text{pgcd}(p,q) = 1$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , notons $u_k(x) = \cos^{2k}(2 \pi k x)$ .

Si $k$ est un multiple de $q$ , soit $k = mq$ avec $m \in \mathbb{N}^*$ , alors :

kx = mq \frac{p}{q} = mp \in \mathbb{Z} \implies \cos(2\pi kx) = \cos(2\pi mp) = 1

Ainsi,

u_{mq}(x) = 1^{2mq} = 1

.

Si $k$ n'est pas un multiple de $q$ , écrivons $k = mq + r$ avec $1 \le r < q$ . Alors $kx = mp + \frac{rp}{q}$ . Comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux et $1 \le r < q$ , le nombre $rp/q$ n'est pas un entier. Il en résulte que $|\cos(2\pi kx)| = |\cos(2\pi rp/q)| < 1$ .

Posons $c = \max \{ \cos^2(2\pi rp/q) \mid 1 \le r < q \}$ . On a $0 \le c < 1$ . Alors pour tout $k$ non multiple de $q$ , $u_k(x) \le c^k$ .

Décomposons la somme $f_n(x)$ :

f_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{\substack{1 \le k \le n q|k}} 1 + \frac{1}{n} \sum_{\substack{1 \le k \le n q \nmid k}} u_k(x)

La première somme contient $\lfloor n/q \rfloor$ termes égaux à 1. Son poids est :

\frac{1}{n} \lfloor n/q \rfloor \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{q}

La seconde somme est majorée par la somme d'une série géométrique convergente :

0 \le \frac{1}{n} \sum_{\substack{1 \le k \le n q \nmid k}} u_k(x) \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n c^k \le \frac{1}{n} \frac{c}{1-c} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

Par conséquent, si $x = p/q$ sous forme irréductible :

\boxed{f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{q}}

Deuxième cas : $x \notin \mathbb{Q$ $x \in / Q$ .}

Soit $\epsilon > 0$ . Pour tout entier $M \in \mathbb{N}^*$ , si $k \geq M$ , on a $0 \le \cos^{2k}(2\pi kx) \le \cos^{2M}(2\pi kx)$ . On peut alors découper la somme définissant $f_n(x)$ :

0 \le f_n(x) \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{M-1} 1 + \frac{1}{n} \sum_{k=M}^n \cos^{2M}(2\pi kx)

D'après le résultat d'équirépartition rappelé en indication, pour $M$ fixé :

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos^{2M}(2\pi kx) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^1 \cos^{2M}(2\pi t)   \mathrm{d}t

Il en vient :

\limsup_{n \to +\infty} f_n(x) \le \int_0^1 \cos^{2M}(2\pi t)   \mathrm{d}t

Ce résultat est vrai pour tout $M \in \mathbb{N}^*$ . Or, par convergence dominée (ou par un calcul direct de l'intégrale de Wallis), la suite d'intégrales tend vers 0 :

\lim_{M \to +\infty} \int_0^1 (\cos(2\pi t))^{2M}   \mathrm{d}t = 0

Par passage à la limite sur $M$ , on obtient :

\boxed{f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}

2. Étude de la convergence uniforme.

Supposons que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ sur un intervalle $I = [a, b]$ avec $a < b$ . Comme chaque $f_n$ est une somme de fonctions continues, chaque $f_n$ est continue sur $I$ . Par théorème, la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. La fonction $f$ devrait donc être continue sur $I$ .

D'après la question 1, la fonction limite $f$ est définie par :

f(x) = \begin{cases} 1/q & \text{si } x = p/q \in \mathbb{Q} \text{ (forme irréductible)} 0 & \text{si } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}

Considérons $x_0 \in I \cap \mathbb{Q}$ (un tel point existe par densité de $\mathbb{Q}$ ). On a $f(x_0) > 0$ . Par densité des irrationnels, il existe une suite $(y_p)_{p \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $I \setminus \mathbb{Q}$ telle que $y_p \to x_0$ . Alors $f(y_p) = 0$ pour tout $p$ , donc $f(y_p) \to 0$ . Si $f$ était continue, on aurait $f(y_p) \to f(x_0)$ , ce qui impliquerait $0 = f(x_0) > 0$ , une contradiction.

La fonction $f$ n'est continue en aucun point rationnel de $I$ .

\boxed{\text{La convergence n'est uniforme sur aucun intervalle non trivial.}}

Dépendance de l'exposant et de l'argument par rapport à l'indice de somme

Utilisation de la discontinuité de la limite simple pour infirmer la convergence uniforme