Convergence uniforme et critère alterné

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in \mathbb{R}^{+}$. Si $x = 0$, $f_n(0) = \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$. La série $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ converge d'après le critère spécial des séries alternées (CSSA) car la suite $(1/\sqrt{n})$ est positive, décroissante et tend vers $0$. Si $x > 0$, $|f_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{\sqrt{n}}$. Comme $e^{-nx}$ est le terme général d'une série géométrique convergente, par comparaison, la série $\sum f_n(x)$ converge absolument.
   $$\boxed{\text{La série } \sum f_n \text{ converge simplement sur } \mathbb{R}^+.}$$

2. Convergence normale : Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $x \mapsto |f_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{\sqrt{n}}$ est décroissante sur $[0, +\infty[$. Son maximum est donc atteint en $x=0$ :
   $$\|f_n\|_{\infty} = |f_n(0)| = \frac{1}{\sqrt{n}}$$
   Or, la série de Riemann $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge (puisque $1/2 \le 1$).
   $$\boxed{\text{La série ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}^+.}$$

3. Convergence uniforme : Pour chaque $x \in \mathbb{R}^{+}$ fixé, la série $\sum f_n(x)$ est une série alternée. La suite $(|f_n(x)|)_{n \ge 1} = \left(\frac{e^{-nx}}{\sqrt{n}}\right)_{n \ge 1}$ est bien positive, décroissante et de limite nulle. D'après le CSSA, le reste d'ordre $N$, noté $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x)$, vérifie :
   $$|R_N(x)| \le |f_{N+1}(x)| = \frac{e^{-(N+1)x}}{\sqrt{N+1}}$$
   Comme $e^{-(N+1)x} \le 1$ pour tout $x \ge 0$, on en déduit :
   $$\sup_{x \in \mathbb{R}^+} |R_N(x)| \le \frac{1}{\sqrt{N+1}}$$
   Comme $\lim_{N \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{N+1}} = 0$, la suite des restes converge uniformément vers zéro.
   $$\boxed{\text{La série converge uniformément sur } \mathbb{R}^+.}$$