Série de fonctions et pics de Gauss

Résolution.

1. Convergence normale : Pour tout $n \ge 1$, la fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est :
   $$f_n'(x) = -\frac{2(x-n)}{n} e^{-(x-n)^2}$$
   Le maximum est atteint en $x=n$ et vaut $f_n(n) = \frac{1}{n}$. Ainsi, $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{n}$. La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge.
   $$\boxed{\text{La série ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}.}$$

2. Convergence uniforme : Soit $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{e^{-(x-n)^2}}{n}$ le reste de la série. Cas 1 : $x \le N$. Pour tout $n \ge N+1$, on a $n-x \ge n-N \ge 1$. Comme $t \mapsto e^{-t^2}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$, on a $e^{-(x-n)^2} \le e^{-(n-N)^2}$. De plus, $\frac{1}{n} \le \frac{1}{N+1}$. D'où :
   $$|R_N(x)| \le \frac{1}{N+1} \sum_{n=N+1}^{+\infty} e^{-(n-N)^2} = \frac{1}{N+1} \sum_{k=1}^{+\infty} e^{-k^2}$$
   La série $\sum e^{-k^2}$ converge, donc cette partie tend vers 0 uniformément pour $x \in ]-\infty, N]$. Cas 2 : $x > N$. Notons $n_0 = \lfloor x \rfloor$. Si $n_0 > N$, le terme $n = n_0$ appartient à la somme du reste.
   $$R_N(x) = \frac{e^{-(x-n_0)^2}}{n_0} + \sum_{n > N, n \neq n_0} \frac{e^{-(x-n)^2}}{n}$$
   Le premier terme est majoré par $\frac{1}{n_0} \le \frac{1}{N}$. Pour la somme restante, on utilise la décroissance de l'exponentielle loin de $x$ :
   $$\sum_{n > N, n \neq n_0} \frac{e^{-(x-n)^2}}{n} \le \frac{1}{N} \left( \sum_{n=N+1}^{n_0-1} e^{-(x-n)^2} + \sum_{n=n_0+1}^{+\infty} e^{-(x-n)^2} \right)$$
   Par un changement d'indice et en utilisant $|x-n| \ge |n-n_0|-1$, on montre que cette somme est bornée par une constante indépendante de $x$. Finalement, $\sup_{x \in \mathbb{R}} |R_N(x)| \le \frac{C}{N} \xrightarrow{N \to \infty} 0$.
   $$\boxed{\text{La série converge uniformément sur } \mathbb{R}.}$$