Convergence d'une série à termes positifs

Résolution.

1. Convergence simple : Si $x = 0$, $f_n(0) = 0$, donc la série converge. Si $x > 0$, $f_n(x) = \frac{x}{\ln n} (e^{-x})^n$. Comme $|e^{-x}| < 1$, il s'agit d'une série dont le terme général est dominé par celui d'une série géométrique convergente.
   $$\boxed{\text{La série converge simplement sur } \mathbb{R}^+.}$$

2. Convergence normale : Étudions $f_n$ sur $[0, +\infty[$. La fonction est dérivable et :
   $$f_n'(x) = \frac{e^{-nx}(1-nx)}{\ln n}$$
   La dérivée s'annule en $x_n = 1/n$. Le maximum de $f_n$ est donc :
   $$\|f_n\|_{\infty} = f_n(1/n) = \frac{1}{en \ln n}$$
   La série $\sum \frac{1}{n \ln n}$ est une série de Bertrand avec $\alpha=1, \beta=1$. Elle diverge (comparaison intégrale : $\int_2^X \frac{dt}{t \ln t} = \ln(\ln X) \to +\infty$).
   $$\boxed{\text{La série ne converge pas normalement sur } \mathbb{R}^+.}$$

3. Convergence uniforme : Étudions le reste $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{x e^{-nx}}{\ln n}$. Pour $x > 0$ :
   $$R_N(x) \le \frac{1}{\ln(N+1)} \sum_{n=N+1}^{+\infty} x (e^{-x})^n = \frac{1}{\ln(N+1)} \frac{x e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}}$$
   Posons $g(x) = \frac{x e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}}$. En $0^+$, $g(x) \sim \frac{x \cdot 1}{x} = 1$. En $+\infty$, $g(x) \to 0$ par croissance comparée. La fonction $g$ est continue sur $]0, +\infty[$ et prolongeable par continuité en $0$, elle est donc bornée par une constante $M$ indépendante de $N$ (en fait, $\sup g = 1$ car $x/(1-e^{-x})$ est croissant vers $+\infty$ mais l'exponentielle écrase tout). Ainsi :
   $$\sup_{x \in \mathbb{R}^+} |R_N(x)| \le \frac{M}{\ln(N+1)} \xrightarrow{N \to \infty} 0$$
   $$\boxed{\text{La série converge uniformément sur } \mathbb{R}^+.}$$